【分析】首先作辅助线：连接DE，再设S△DEF=S′1，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则S1S3＞S2S4．
【解答】解：如图，连接DE，设S△DEF=S′1， 则
，从而有S1′S3=S2S4．
，则可证得：S1′S3=S2S4，即可得到：
因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4． 故选：C．
【点评】此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用． 5．（7分）设A．4 【分析】由于
B．5
，则4S的整数部分等于（ ）
C．6
D．7
，由此可以得到1＜S=，然后即可求出4S的整数部分．
【解答】解：当k=2，3…99， 因为所以1＜S=于是有4＜4S＜5， 故4S的整数部分等于4． 故选：A．
【点评】此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了
．
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，
．
二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）
6．（7分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 3＜m≤4 ． 【分析】根据原方程可知x﹣2=0，和x2﹣4x+m=0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2
﹣4x+m）=0有三个根，所以x2﹣4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根， ∴①x﹣2=0，解得x1=2； ②x2﹣4x+m=0，
∴△=16﹣4m≥0，即m≤4， ∴x2=2+x3=2﹣
， ，
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长， 且最长边为x2， ∴x1+x3＞x2； 解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4． 故答案为：3＜m≤4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．
7．（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是
．
【分析】利用列表法求出所有的举朝上的面两数字之和，得出5的个数，即能得出朝上的面两数字之和为奇数5的概率．
【解答】解：∵正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8，用列表法列举朝上的面两数字之和所有可能是： ∴朝上的面两数字之和为奇数5的概率是：
=．
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故答案为：．
【点评】此题主要考查了用列举法求概率，列举出所有的可能结果是解决问题的关键．
8．（7分）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线
（x＞0）于C，D两点．若BD=2AC，则4OC2﹣OD2的值为 6 ．
【分析】根据A，B两点在直线y=x上，分别设A，B两点的坐标为（a，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC=a﹣，线段BD=b﹣，根据BD=2AC，有b﹣=2（a﹣），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2﹣OD2的值．
【解答】解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，） AC=a﹣，BD=b﹣， ∵BD=2AC， ∴b﹣=2（a﹣） 4OC2﹣OD2=4（a2+=4[=4=6．
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）﹣（b2+
+2] ﹣2
）
+2]﹣[+8﹣4
故答案为：6．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值． 9．（7分）若
的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为
． 方
【分析】根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将程两边平方，得出y2的最大值与最小值，从而得出a2+b2的值． 【解答】解：由1﹣x≥0，且
≥0，得≤x≤1．
．
由于所以当当
，
时，y2取到最大值1，故a=1．
．
或1时，y2取到最小值，故
．
所以：
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y2的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算．
10．（7分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 84 ．
【分析】首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，
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解方程组即可求得．
【解答】解：如图，设BC=a，AC=b， 则a2+b2=352=1225．① 又Rt△AFE∽Rt△ACB， 所以
，即
，
故12（a+b）=ab．②
由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b）， 解得a+b=49（另一个解﹣25舍去）， 所以a+b+c=49+35=84． 故答案为：84．
【点评】此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意合理应用数形结合与方程思想．
三、解答题（共4小题，每小题20分，满分80分）
11．（20分）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．
【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根．利用根与系数的关系均得到与a的关系，进而消去a，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a，b，c的值，相加即可． 【解答】解：设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β， ∵方程有整数根，
设其中α，β为整数，且α≤β， 则方程x2+cx+a=0的两根为α+1，β+1， ∴α+β=﹣a，（α+1）（β+1）=a， 两式相加，得αβ+2α+2β+1=0， 即（α+2）（β+2）=3， ∴解得
或或
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2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷及试卷解析
