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第一章 集合与充要条件
一、集合的概念 （一）概念
1. 集合的概念：将某些 的对象看成一个 就构成一个集合，简称为 。
一般用 表示集合。
组成集合的对象叫做这个集合的 。
一般用 表示集合中的元素。 2. 集合与元素之间关系：
如果a是集合A的元素，就说a A，记作 ； 如果a不是集合A的元素，就说a A，记作 。 3. 集合的分类：
含有 的集合叫做有限集； 含有 的集合叫做无限集；
的集合叫做空集，记作 。 （二） 常用的数集：数集就是由 组成的集合。
1. 自然数集：所有 组成的集合叫做自然数集，记作 ； 2. 正整数集：所有 组成的集合叫做正整数集，记作 ； 3. 整数集：所有 组成的集合叫做整数集，记作 ； 4. 有理数集：所有 组成的集合叫做有理数集，记作 ； 5. 实数集：所有 组成的集合叫做实数集，记作 。 （三） 应知应会：
1. 自然数：由 和 构成的实数。 2. 整数：由 和 构成的实数。 偶数： 被2整除的数叫做偶数； 奇数： 被2整除的数叫做奇数。
3. 分数：把 平均分成若干份，表示这样的 或 的数叫做分数。分数中间的 叫做分数线。分数线 的数叫做分母，表示把一个物体 ；分数线 的数叫做分子，表示 。
4. 有理数： 和 统称有理数。 5. 无理数： 的小数叫做无理数。 6. 实数： 和 统称实数。
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二、集合的表示法 表 示 法 列 举 法 描 述 法 定 义 将集合中的元素 利用元素的 来表示表示集合的方法。 集合的方法。 1. 在 中画一条 ； 2. 左侧写上集合的 ， 并标出元素的 ；（如果上下文中能够明显看出集合中的元素1. 将集合中的元素 ； 为实数，可以不标出元素的取值范具体方法 2. 用 分隔； 围。） 3. 用 括为一个整体。 3. 右侧写出元素所具有的 。 【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用 来叙述集合的 ，再用 括起来。 优 点 明确、直接看到集合中的元素。 清晰地反映出元素的特征性质。 不 足 能表示的集合有限。 抽象，不能直接看出元素。 适用类型 一般用来表示有限集。 一般用来表示无限集。 【几个常用集合的表示方法】 （一）数集： 集 合 列举法 描述法 偶数集合 正偶数集合 负偶数集合 奇数集合 正奇数集合 负奇数集合 WORD格式整理版
（二）点集：在平面直角坐标系中， 由x轴上所有点组成的集合 由y轴上所有点组成的集合 由第一象限所有点组成的集合 由第二象限所有点组成的集合 由第三象限所有点组成的集合 由第四象限所有点组成的集合 三、集合之间的关系 集合间的关系 子 集 真子集 相 等 一般地，如果集合B 如果集合B是集合A的 ，并且A中 一般地，如果两个集定 义 的元素 集合A 有 元合的元素 ，的元素，那么把集合B素 属于B，那么把那么就说这两个集合叫做集合A的子集。 B叫做A的真子集。 相等。 符号表示 B A（或A B） B A（或A B） B A（或A B） 读 作 B A B A （或A B） （或A B） ———————— 图 示 学习参考好帮手
1. 任何一个集合都是它自身的 。 明 确 2. 空集是任何集合的 ；是任何 集合的 。 3. 一个集合中有n个元素，则它的子集的数目为 ； 真子集的数目为 。 四、集合的运算 （一） 交集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的 所有元素组成的集合叫做A与B的交集。 2. 记作：A B；读作：A B。
3. 集合表示：A____B?{___|________________}。 4. 图示：用阴影表示出集合A与B的交集。
A
A
B
A B
B
5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有
（1） A?B?__________； （2） A?A?____,A???_____； （3）A?B____A,A?B____B。 （二）并集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的 所有元素组成的集合叫做A与B的并集。 2. 记作：A B；读作：A B。
3. 集合表示：A____B?{___|________________}。 4. 图示：用阴影表示出集合A与B的并集。 A
B
A A
B
B
5. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有
（1）A?B?__________； （2）A?A?____,A???_____； （3）A____A?B,B____A?B。
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（二） 补集 1. 全集：
（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ， 这个给定的集合叫做全集。 （2）表示：一般用 来表示全集。
（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。
2. 补集的定义：如果集合A是全集U的 ，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做A 的补集。 3.记作： ；读作： 。 4. 集合表示：____?{___|________________} 5. 图示：用阴影表示出集合A在全集U中的补集。 U
A
6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A，都有
（1） A?CUA?_______； （2） A?CUA?_______； （3） CU(CUA)?_______；
（4） CU(A?B)?________?________； （5） CU(A?B)?________?________。五、充要条件 （一）相关概念：
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。
2. 命题的表示方法：使用小写英语字母p、q、r、s等表示命题。 3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。 4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。
5. “如果......，那么......”命题：一般形式为“如果p，那么q”。 6. 题设（条件）：“如果”后接的p。 7. 结论：“那么”后接的q。 （二）充要条件： 1. 充分条件：
“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的充分条件。
记作：p q；读作：由条件p 结论q。
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2. 必要条件：
“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的必要条件。
记作：p q；读作：由结论q 条件p。 3. 充要条件：
如果 ，并且 ，那么称p是q的 且 条件，简称充要条件。
记作：p q；读作：p与q 。 4. 既不充分又不必要条件：
如果 ，并且 ，那么称p是q的既不充分又不必要条件。
第二章 不等式
一、比较实数大小的方法 （一）实数的大小与正负
1. 正数 零，负数 零，正数 负数。
2. 两个正数，绝对值大的数 ；两个负数，绝对值大的数 。 3. 正数的和为 数，负数的和为 数。
4. 同号相乘（除）得 数；毅号相乘（除）得 数。
5. 互为相反数的两个数之和为 ；互为倒数的两个数之积为 。 （二）数轴
1. 定义：数轴是一条规定了 、 、 的直线。 2. 意义：数轴上的点与实数是 的关系。
3. 在数轴上，原点所代表的实数是 ，原点右边的点所代表的实数是 数，原点左边的点所代表的实数是 数。
4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ，
即，越往右的点代表的数越 ，越往左的点代表的数越 。 5. 在数轴上，表示下列数的范围： （1）x ≥ 3； （2）x < 2； （3）?1 ≤ x < 3。
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（三）比较两个实数大小的方法： 比较法。
一般地，对于两个任意的实数a和b，有
a?b?0?_______;a?b?0?_______;a?b?0?_______.
二、不等式的基本性质
1. 对称性：a?b? 。 2. 传递性：a?b,b?c?___________。 3. 加法性质：a?b?___________________； a?b,c?d?_________________。
4. 乘法性质：a?b,c?0?__________，__________； a?b,c?0?__________，__________； a?b?0,c?d?0?_____________； a?b?0?____________(n?N*)； a?b?0?____________(n?N*)。 三、区间
（一）区间表示的对象： 。
由 上两点间的一切 所组成的集合叫做区间。 这两个点叫做区间 。 （二）区间的分类及定义： 1. 有限区间
（1）开区间： 端点的区间。 （2）闭区间： 端点的区间。 （3）右半开区间： 端点的区间。 （4）左半开区间： 端点的区间。 2. 无限区间：至少有一个端点 的区间。
（1）不存在右端点时，可以用符号 表示，读作 ； （2）不存在左端点时，可以用符号 表示，读作 。 （三）区间、集合与图像的关系
设a、b为任意实数，且 a < b ，则各种区间表示的集合如下表：
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区 间 集 合 图 像 (a,b) [ a, b ] ( a, b ] [ a, b ) (??,b) (??,b] (a,??) [a,??) (??,??)
1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。 2. 一般形式：ax?b?0(≥0)或ax?b?0(≤0)，其中a?0。 3. 一元一次不等式在各种情况下的解集：
四、一元一次不等式 WORD格式整理版 解集(a?0) 方程或 不等式 a?0 a?0 yyy?ax?b 的图像 OxOx ax?b?0 描述法: 描述法: ax?b?0 (ax?b≥0) 区间表示: 区间表示: 描述法: 描述法: ax?b?0 (ax?b≤0) 区间表示: 区间表示: 五、一元二次不等式
1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。
2. 一般形式： 或 ，其中 。 3. 一元二次不等式在各种情况下的解集：
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解集(a?0,??b2?4ac,x1?x2) 方程或不等式 ??0 ??0 ??0 yyyy?ax2?bx?c 的图像 OxOxOx ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c≥0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c≤0 4.解一元二次不等式的基本步骤：
（1）将不等式化为一元二次不等式的 形式，并 ；
（2）设ax2?bx?c?0，并解方程；
（3）根据上表，写出一元二次不等式的解集。 六、含绝对值的不等式 （一）绝对值的概念
1. 绝对值的含义：在 上，任意一个数所对应的点到 的 叫做该数的绝对值。
2. 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是它的 数，0的绝对值是 。
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