2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题
1.已知函数f(x)?(x2?a)ex有最小值，则函数g(x)?x2?2x?a的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a的值
2. 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ） A.a?1,b?2,c?Z
B.A?1500,asinA?csinC2asinC?bsinB C.cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?600 D.a?3,b?1,A?600
3.已知函数f(x)?x2?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A.f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线
B.存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C. f(x),g(x)有且只有一个交点 D. f(x),g(x)有且只有两个交点
4. 过抛物线y?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点.下列说法中正确的有（ ）
A.以线段AB为直径的圆与直线x??B. |AB|的最小值为4 C. |AB|的最小值为2
D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切
23一定相离 2x2y25. 已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说
ab法中正确的有（ ）
1
A.a?B. a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个 2b时，满足?F1PF2?900的点P有四个
C.?PF1F2的周长小于4a
a2D. ?PF 1F2的面积小于等于
2
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7. 已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N.以下说法正确的有（ ）A.O,M,B,P四点共圆 B. A,M,B,N四点共圆 C. A,O,P,N四点共圆 D.以上三个说法均不对
8.sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC是?ABC为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.已知x,y,z为正整数，且x?y?z，那么方程
1111???的解的组数为（ ） xyz2A.8 B.10 C.11 D.12
10.集合A?{a1,a2,?,an}，任取1?i?j?k?n,ai?aj?A,aj?ak?A,ak?ai?A这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
11.已知??1,??61,??121，则下列各式中成立的有（ ） A.tan?tan??tan?tan??tan?tan??3
2
000B.tan?tan??tan?tan??tan?tan???3
C.
tan??tan??tan??3
tan?tan?tan?tan??tan??tan???3
tan?tan?tan?D.
12.已知实数a,b,c满足a?b?c?1，则4a?1?4b?1?4c?1的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A.(11,12) B.(12,13) C.(13,14) D.(14,15)
13.已知x,y,z?R,x?y?z?1,x2?y2?z2?1，则下列结论正确的有（ ） A.xyz的最大值为0 B. xyz的最大值为?C. z的最大值为
14.数列{an}满足a1?1,a2?2,an?2?6an?1?an(n?N*)，对任意正整数n，以下说法中正确的有（ ）
2A.an?1?an?2an为定值 B.an?1(mod9)或an?2(mod9)
4 2721 D. z的最小值为? 33C.4an?1an?7为完全平方数 D.8an?1an?7为完全平方数
15. 若复数z满足z?1?1，则z可以取到的值有（ ） z5?1 2A.
115?1 B.? C. D. 222
16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（ ）
A.6552 B.4536 C.3528 D.2016
11x2y217.已知椭圆2?2?1(a?b?0)与直线l1:y?x,l2:y??x，过椭圆上一点P作
22ab
3
l1,l2的平行线，分别交l1,l2于M,N两点.若|MN|为定值，则
A.2 B.3 C.2 D.5
a?（ ） b18. 关于x,y的不定方程x?165?2的正整数解的组数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),?等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次序有In种，则（ ）
A.I2?2 B.I3?12 C.I4?96 D.I5?120
20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是 . .
21.在正三棱锥P?ABC中，?ABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x，异面直线
2yAB,CP的距离为y.则limy? .
x??
22.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF?四面体OEBF的体积为 . 23.
11BC,A1E?A1A，则24?2?0(x??)2n?1(1?sin2nx)dx? .
.
24.实数x,y满足(x?y)?4xy，则x?y的最大值为 .
4
2232222
25.x,y,z均为非负实数，满足(x?与最小值分别为 .
26.若O为?ABC内一点，满足S?AOB:S?BOC:S?COA?4:3:2，设AO??AB??AC，则
12327)?(t?1)2?(z?)2?，则x?y?z的最大值224???? .
2?2?z23?isin? . 27.已知复数z?cos，则z?233z?z?2
28.已知z为非零复数，
z40,的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对10z应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为 .
29.若tan4x?sin4xsin2xsinxsinx3???? . ，则
cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx3.
30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个4?4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.
31.设A是集合{1,2,3,?,14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值为 .
5
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1
