空间向量的坐标表示
[本周重点]：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式，距离公式。
[本周难点]：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。
[知识要点]：
一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示 在空间直角坐标系O一xyz中,以
,存在唯一一组有序实数组x、y、z，使
为单位正交基底, 对空间任一点A,对应向量
，则在空间直角坐标系中，点
A的坐标为(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标；y叫做点A的纵坐标；z叫做点A的竖坐标. 向量
（1）空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位正交基底 （
按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的的坐标为(x,y,z)。
选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。
（2）空间任一点P的坐标确定的办法如下：作P在XOY平面上的射影点 XOY平面内的坐标 （x，y，0），求出
二、空间向量的直角坐标运算： 设
(1) + =(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
(2) - =(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)
=a1b1+a2b2+a3b3.
则
并确定符号即z，得坐标P（x，y，z）。
，求出
在
(4) // 或 .
(5)
(6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
三、夹角和距离公式： 1、向量 与 的夹角：设
则
a1b1+a2b2+a3b3=0.
注意：
.
（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： 中θ的范围是 (2)
用此公式求异面直线所
，其
成角等角
度时，要注意这些角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
2、两点距离公式：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点，则
的坐标表示，然后
两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 再用模长公式推出。
3、平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作
四、利用向量的坐标理论完成解题的程序：
建立空间直角坐标系O-xyz，对空间图形中的向量 进行量化处理，用坐标(x,y,z)进行表示.利用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应，完成解题过程.
.如果
,那么向量 叫做平面α的法向量
重点例题讲解：
例1．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。设 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若向量
分析：
（Ⅰ）利用数量积定义求cos （Ⅱ）先求出
解： （Ⅰ）
，
与
，再求
；
与
互相垂直，求k的值。
坐标表示，利用数量积为0求k
（Ⅱ）
，
，
例2．已知ΔABC中，A(2,-5,3), 的坐标及∠A的大小.
解：
设B（x,y,z），C（x1,y1,z1）， ∵
,
,求其余顶点、向量
∴
∴B(6,-4,5). ∵
解得
∴
∴C(9,-6,10). ∵ ∴
解得
=(-7,1,-7).
∴
∴
.
点评：在求角时，如果不是特殊角，应考虑用反三角函数来表示.
例3．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点。求证：A1P⊥平面DMN。
分析：证明A1P与平面DMN垂直有两种方法：一是证明A1P与平面DMN内两条相交直线垂直；二是证明A1P与平面DMN的法向量平行。
证明： （法一）
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则D（0，0，0），A1（2，0，2），P（0，1，0），M（0，2，1），N（1，2，0） ∴向量
∴
∴A1P⊥平面DMN
（法二）
即直线A1P⊥DM，A1P⊥DN，又∵DM∩DN=D
建立空间直角坐标系如图，各点、向量的示法同法一，设平面DMN的法向量为 =（1，x，y）
由（1），（2）解得 又 ∴
∴
⊥面DMN
即直线A1P⊥面DMN
点评：
（1）利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标；
（2）对空间任意一点A求其坐标的一般方法：过A作z轴的平行线交平面xOy于B，过B分别作x,y轴的平行线，分别交y,x轴于C、D，则由 的坐标.
例4．如图为直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1， ∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点； （Ⅰ）求 （Ⅱ）求
（Ⅲ）求证：A1B⊥C1M。
解：
（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0）， C1（0，0，2）， A（1，0，0）， A1（1，0，2）， B（0，1，0）， B1（0，1，2）
的长；
的值；
的长度和方向便可求得点A
空间向量的坐标表示
