高考数学复习 核心素养提升练六
函数的奇偶性与周期性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2018·滨州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是 ( )
A.f(x)=
x
-x
B.f(x)=
C.f(x)=2+2 D.f(x)=-cos x
【解析】选B.对于A,偶函数与单调递减均不满足;对于B,符合题意;对于C,不满足单调递减;对于D,不满足单调递减.
2.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( ) A.奇函数 C.增函数
B.偶函数 D.周期函数
【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:
所以f(x)在R上是周期为1的函数.
3.(2019·邯郸模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2+m,则f(-2)=
( )
x
A.-3 B.- C. D.3
0
【解析】选A.由f(x)为R上的奇函数,知f(0)=0,即f(0)=2+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(2-1)=-3.
4.(2019·郑州模拟)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是
( )
2
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x. A.①③
B.②③
- 1 -
C.①④ D.②④
【解析】选D.由奇函数的定义:f(-x)=-f(x)验证,①f(|-x|)=f(|x|),故为偶函数; ②f[-(-x)]=f(x)=-f(-x),为奇函数;
③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数;可知②④为奇函数.
5.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)内是增函数 B.奇函数,且在(0,1)内是减函数 C.偶函数,且在(0,1)内是增函数 D.偶函数,且在(0,1)内是减函数
【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.
6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x+x+1,则f(1)+g(1)=
( )
B.-1
3
2
3
2
A.-3 C.1 D.3
3
2
【解析】选C.由f(x)-g(x)=x+x+1,将所有x替换成-x,得f(-x)-g(-x)=-x+x+1,根据f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),得f(x)+g(x)=-x+x+1,再令x=1,计算得,f(1)+ g(1)=1. 7.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于y轴对称,而函数f(x-1)的图象关于原点对称,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为 A.-3
B.-2
( )
C.2
D.3
3
2
【解析】选D.函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(-x)=f(x),又因为函数f(x-1)的图象关于原点对称,所以f(-x-1)=- f(x-1) ,所以f(-x)=-f(x-2)=f(x), 故f(x)=-f(x+2)=f(x+4) ,故函数f(x) 的周期为4,因为f(-x-1)=-f(x-1),当x=0时,f(-1)=-f(-1),所以f(-1)=0,即f(1)=0,则f(5)+f(6)=f(1)+f(2)=0+3=3. 二、填空题(每小题5分,共10分)
8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=x-x,则当x<0时,f(x)=________.
2
2
【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x+x)=-x-x.
- 2 -
2
2
答案:-x-x
9.若函数f(x)=xln(x+【解题指南】f(x)=xln(x+ln(x+
)+ln(-x+
)为偶函数,则a=________.
)为偶函数,即y=ln(x+)=0确定a的值. )是奇函数,
)=ln(a+x-x)=ln a=0,解得a=1.
2
2
2
)是奇函数,利用
【解析】由题意知y=ln(x+所以ln(x+答案:1
)+ln(-x+
10.(2018·贵阳模拟)已知f(x)是奇函数,g(x)=
.若g(2)=3,则g(-2)=________.
【解析】由题意可得g(2)==3,则f(2)=1,又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,
所以g(-2)= 答案:-1
==-1.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2018·泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为 ( ) A.2
B.1
C.-1
D.-2
【解析】选A.设g(x)=f(x+1),因为f(x+1)为偶函数,则g(-x)=g(x),即f(-x+1) =f(x+1),因为
f(x)是奇函数,所以
f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1),即
f(x+2)=-f(x),
f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,所以f(4)+f(5) =0+2=2. 2.(5分)(2019·重庆模拟)若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,?x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),
有<0,则 ( )
A.f(3) - 3 - C.f(-2) 【解析】选D.因为?x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,所以当x≥0时,函数f(x) 为减函数,因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,所以f(3) 3.(5分)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)= f(x+2);③当 0≤x≤1时,f(x)=2-1.则f=________. x +f(1)+f+f(2)+f 【解析】依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,则f+f(1)+f+f(2)+ f=f +f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+2-1+2-1= 10 . 答案: 4.(12分)已知函数f(x)=(1)求实数m的值. 是奇函数. (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 【解析】(1)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-(-x)+2(-x)=-x-2x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x). 于是x<0时,f(x)=x+2x=x+mx, 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 2 2 2 2 结合f(x)的图象知所以1 - 4 - 故实数a的取值范围是(1,3]. 5.(13分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值. (1)求实数a的取值范围. (2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式. 【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需以-2≤a≤2, 故a的取值范围为[-2,2]. (2)因为g(x)为定义在R上的奇函数, 所以g(0)=0. 设x>0,则-x<0. 所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4, 所以g(x)= 所 - 5 -
高考数学复习函数的奇偶性与周期性理含解析
