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此式可用作误差界的估计。
故 表明： 误差
是当
时较
高阶无穷小， 这一
余项表达式称之为皮亚诺余项。 3、若式
，则在
与 ，
之间，它表示成形
泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求解：
.
的麦克劳林公式。
.
，
于是 有近似公式
其误差的界为 我们有函数(1)、
的一些近似表达式。
(2)、 (3)、
在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。
【例2】求 解：
的
阶麦克劳林公式。
它们的值依次取四个数值
。
.
.
其中：
同样，我们也可给出曲线 作出它们的图象。
的近似曲线如下，并用matlab
【例3】求解：
的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。
于是：
.
.
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限 解：
，
。
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为
，从而
当
时，
，应为
的近似值， 并估计误差。
【例5】利用三阶泰勒公式求 解：
.
.
故：
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泰勒公式及其应用典型例题
