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泰勒公式及其应用
常用近似公式
，将复杂函数用简单
的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当
较大时），从下图可看出。
上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。
2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。
将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数希望
，想找多项式
来近似表示它。自然地，我们所具有的性态 —— 如：在某点的形式如何确定；。
近似
所
尽可能多地反映出函数
处的值与导数值；我们还关心产生的误差【问题一】
设
在含的
的开区间具有直到阶的导数，能否找出一个关于
次多项式
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近似
?
【问题二】
若问题一的解存在，其误差
的表达式是什么?
一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数
。
……………
上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：
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于是， 所求的多项式为：
(2)
二、【解决问题二】
泰勒(Tayler)中值定理
若函数当
在含有时，
的某个开区间
具有直到
阶导数，则
可以表示成
这里是
与之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：
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这表明：
只要对函数 之间反复使用【证明】以
与为端点的区间
及
在与
次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
或
记为
，
。
阶的导数，
函数 且
在上具有直至
函数 且
于是，对函数 定理， 有
在上有直至阶的非零导数，
及 在上反复使用 次柯西中值
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三、几个概念
1、
此式称为函数或者称之为函数当
按在点
的幂次展开到 处的
阶的泰勒公式；
阶泰勒展开式。
时， 泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的，若
有
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泰勒公式及其应用典型例题
