20．（12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．
（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
P
ABOMC21．（12分）
x2已知函数f(x)?e?ax．
（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 参考答案: 一、选择题 1.D 7.B
2.A 8.C
3.B 9.C
4.B
5.A
6.A 12.D
10.A 11.C
二、填空题
13.y?2x 14.9 15.?1 216.402π
三、解答题 17. (12分)
解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15. 由a1??7得d=2.
所以{an}的通项公式为an?2n?9. （2）由（1）得Sn?n2?8n?(n?4)2?16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为?16. 18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
???30.4?13.5?19?226.1(亿元). y利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
??99?17.5?9?256.5(亿元). y（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
y??30.4?13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不
能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010
??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的年至2016年的数据建立的线性模型y环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0). 设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?1),由?2得k2x2?(2k2?4)x?k2?0. ?y?4x2k2?4. ??16k?16?0，故x1?x2?2k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?.
k24k2?4?8，解得k??1（舍去），k?1. 由题设知
k2因此l的方程为y?x?1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为
y?2??(x?3)，即y??x?5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则
?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y??6.y?2?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)2?(y?2)2?16或(x?11)2?(y?6)2?144. 20.(12分)
解：（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且
OP?23. 连结OB.因为AB?BC?且OB?AC，OB?2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2. 2由OP2?OB2?PB2知PO?OB. 由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC.
uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz.
uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),uuur取平面PAC的法向量OB?(2,0,0).
uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0).
设平面PAM的法向量为n?(x,y,z).
uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取n?(3(a?4),3a,?a)，
??ax?(4?a)y?0uuur所以cosOB,n?uuur3.由已知得|cosOB,n|?.
222223(a?4)?3a?a23(a?4)所以23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=34.解得a??4（舍去），a?. 23uuuruuur834343,,?).又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?所以n?(?. 3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．（12分）
2?x【解析】（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x?1)e?1?0．
3. 42?x2?x2?x设函数g(x)?(x?1)e?1，则g'(x)??(x?2x?1)e??(x?1)e．
当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1．
2?x（2）设函数h(x)?1?axe．
f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．
（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．
当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增．
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷二卷
