《小学奥数》小学六年级奥数讲义之精讲精练第40讲 不定方程含答案

练习5

1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？

2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？

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3、一头猪卖3 个银币，一头山羊卖1 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用100个

232银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？

第40周不定方程

一、知识要点

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y

6

＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：

x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3

如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 二、精讲精练

【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。 先将原方程变形，y＝

X Y 1 5 23－3x

。可列表试验求解： 4

3 × 4 × 5 2 6 × 7 × 2 × 所以方程3x+4y＝23的自然数解为

X=1 x=5 Y=5 y=2 练习1

1、求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。 【例题2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2

这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ②

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由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1

把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1. 所以，原方程组的正整数解为 x＝1 y＝1 z＝1 练习2

求下面方程组的自然数解。

1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68

3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52 3、5x+7y+4z＝26

3x－y－6z＝2

【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？

两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。 设大盒子有x个，小盒子有y个，则 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9） y＝（99－12y）÷5

经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7 y＝15 y＝3

所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。 练习3.

1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）

8

2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？

3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？

【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？

设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得： 4x+3y+2×（30－x－y）＝82 x＝10－

由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：

苹果 橘子 梨 9 2 19 8 4 18 7 6 17 6 8 16 5 10 15 4 12 14 3 14 13 2 16 12 1 18 11 y2

练习4

1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？

2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）

3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？

【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？

设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则 6x+3y+2z＝22 ① 9x+4y+z＝22 ② 由②×2－①，得12x+5y＝22 y ＝

22－12x

x＝1 5

x只能取1。Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2 z＝5

9

所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。 练习5

1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？

2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？

3、一头猪卖3 个银币，一头山羊卖1 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？

答案： 练1

1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7 y＝11 y＝8 y＝5 y＝2

2、 x＝3 x＝8 y＝11 y＝1

3、 x＝5 y＝3 练2 1、 x＝1

y＝3 z＝3

2、 x＝3 x＝4

y＝4 y＝2 z＝1 z＝2

3、 x＝3

y＝1 z＝1

10

1

21312

练3

1、设需要小船x只，大船y只。则3x+5y＝48，y＝方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11 y＝9 y＝6 y＝3

48－3x

根据题意，x可取1、6、11， 5

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