第9课时 函数与方程
基础过关 1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程
两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在2区间(m,p)中；若f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 典型例题
例1.（1）若f(x)?A．
x?1，则方程f(4x)?x的根是( ) xC．2
D．－2
11 B．－ 22解：A．
（2）设函数f(x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x),且方程f(x)?0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
解：由f(3?x)?f(3?x)知f(x)的图象有对称轴x?3，方程f(x)?0的6个根在x 轴上对应的点关于直线x?3对称，依次设为3?t1,3?t2,3?t3,3?t1,3?t2,3?t3，故6个根的和为18，答案为D． （3）已知
5b?c（a、b、c∈R），则有（ ） ?1，
5aA．b2?4ac B．b2?4ac C．b2?4ac D．b2?4ac 解法一：：依题设有 a?5?b?5?c?0
∴5是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的一个实根； ∴△＝b2?4ac≥0 ∴b2?4ac，答案为B．
解法二：去分母，移项，两边平方得：5b2?25a2?10ac?c2?10ac＋2?5a?c＝20ac． ∴b2?4ac，答案为B．
（4）关于x的方程 x2?(2m?8)x?m2?16?0的两个实根 x1、x2 满足 x1?实数m的取值范围
22解：设f(x)?x?(2m?8)x?m?16，则f()?3?x2，则2329?3(m?4)?m2?16?0， 16即：4m2?12m?7?0，解得：??m?127． 2（5）若对于任意a?[?1,1]，函数f(x)?x2?(a?4)x?4?2a的值恒大于零, 则x的取值范围是
解：设g(a)?(x?2)a?x2?4x?4，显然，x?2
2??x?3或x?2?g(?1)?2?x?x?4x?4?0则?，即?，解得：x>3或x<1． 2??x?2或x?1?g(1)?x?2?x?4x?4?0变式训练1： 当0?x?1时，函数y?ax?a?1的值有正值也有负值，则实数a的取
值范围是（ ） A．a?解：D
1 2 B．a?1 C．a?11或a?1 D．?a?1 22log1x?2?x,log(x?2)??x，
例2.设x1,x2,x3依次是方程222x?x?2的实数根，试比较x1,x2,x3的大小 ．
解：在同一坐标内作出函数y?x?2，从图中可以看出，0?x3?x1 又x2?0，故x2?x3?x1
变式训练2：已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?3)?f(x?1)，且x∈[－1,1]时，
y?log1x，y??2x的图象
2f(x)?|x|，则y?f(x)与y?log5x的图象交点的个数是( )
A．3 B．4 C．5
解
：
由
D．6
f(x?3)?f(x?1)知
f(x?2)?f(x)故f(x)是周期为2的函数，在同一坐标系中作出y?f(x)与y?log5x的图象，可以看出，交点个数为4．
例3. 已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b为常数，且a?0) 满足条件：f(x?1)?f(3?x)，且方程f(x)?2x有等根. （1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m、n(m?n)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
2解：（1）∵方程ax2?bx?2x有等根，∴??(b?2)?0，得b=2 ．
由f(x?1)?f(3?x)知此函数图象的对称轴方程为x??2故f(x)??x?2x ．
2（2）f(x)??(x?1)?1?1，∴4n?1，即n?b?1，得a??1， 2a1 41时，f(x)在［m，n］上为增函数. 42而抛物线y??x?2x的对称轴为x?1 ∴n?若满足题设条件的m，n存在，则??f(m)?4m，
f(n)?4n?2???m?2m?4m?m?0或m??2即?2??
n?0或n??2??n?2n?4n??又m?n?1， ∴m??2,n?0，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 4由以上知满足条件的m、n存在， m??2,n?0． 变式训练3：已知函数f(x)?11? ((a?0,x?0). ax（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围. 解：（1）证明 任取x1?x2?0
111111x?xf(x1)?f(x2)?(?)?(?)???12
ax1ax2x2x1x1x2∵x1?x2?0，∴x1?x2?0，x1?x2?0，
∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数. （2）解： ∵
11??2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ax∴
a?12x?1在（0，+∞）上恒成立， x令
g(x)?112x?1x?122x?1x?212时取等号 4，当且仅当2x?(x?0)即x=
x22要使
a?1在(0,+∞)上恒成立，则a?
2x?4x故a的取值范围是［
2,+∞)． 41a1n?1?0 a（3）解： 由（1）f(x)在定义域上是增函数. ∴m?f(m),n?f(n)，即m2?m?1?0，n2?故方程x2?11x?1?0有两个不相等的正根m，n，注意到m?n?1，m?n??0 aa11故只需要(??()2?4?0,由于a?0，则0?a? ．
a2例4．若函数f(x)?2?|x?1|?m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．0?m?1 B．0?m?1 C．m?1或m?0 D．m?1或m?0 解：令f(x)?0，得：m?()|12x?1|，∵ |x?1|?0，∴ 0?()|12x?1|?1，即0?m?1．
变式训练4：对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点.
2已知函数f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)
（1）当a?1,b??2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
2解：（1）当a?1,b??2时，f(x)?x?x?3
由题意可知x?x2?x?3，得x1??1,x2?3 故当当a?1,b??2时，f(x)的不动点 ?1,3．
2（2）∵f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)恒有两个不动点，
2∴x?ax?(b?1)x?b?1，
即ax2?bx?b?1?0恒有两相异实根
2∴??b?4ab?4a?0(b?R)恒成立.
2于是???(4a)?16a?0解得
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0?a?1.
小结归纳 本节主要注意以下几个问题：
1．利用函数的图象求方程的解的个数； 2．一元二次方程的根的分布；
3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题
2024高三数学高考《函数》专题学案：函数与方程
