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2020高三数学高考《函数》专题学案:函数与方程

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第9课时 函数与方程

基础过关 1.一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标. 2.函数与方程

两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解;反之,要求方程f(x)?g(x)的解,也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标. 3.二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间(m,n),则必有f(m)?f(n)?0,再取区间的中点p?m?n,再判断f(p)?f(m)的正负号,若f(p)?f(m)?0,则根在2区间(m,p)中;若f(p)?f(m)?0,则根在(p,n)中;若f(p)?0,则p即为方程的根.按照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求),即可得一个近似值. 典型例题

例1.(1)若f(x)?A.

x?1,则方程f(4x)?x的根是( ) xC.2

D.-2

11 B.- 22解:A.

(2)设函数f(x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x),且方程f(x)?0恰有6个不同的实数根,则这6个实根的和为( )

A.0 B.9 C.12 D.18

解:由f(3?x)?f(3?x)知f(x)的图象有对称轴x?3,方程f(x)?0的6个根在x 轴上对应的点关于直线x?3对称,依次设为3?t1,3?t2,3?t3,3?t1,3?t2,3?t3,故6个根的和为18,答案为D. (3)已知

5b?c(a、b、c∈R),则有( ) ?1,

5aA.b2?4ac B.b2?4ac C.b2?4ac D.b2?4ac 解法一::依题设有 a?5?b?5?c?0

∴5是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的一个实根; ∴△=b2?4ac≥0 ∴b2?4ac,答案为B.

解法二:去分母,移项,两边平方得:5b2?25a2?10ac?c2?10ac+2?5a?c=20ac. ∴b2?4ac,答案为B.

(4)关于x的方程 x2?(2m?8)x?m2?16?0的两个实根 x1、x2 满足 x1?实数m的取值范围

22解:设f(x)?x?(2m?8)x?m?16,则f()?3?x2,则2329?3(m?4)?m2?16?0, 16即:4m2?12m?7?0,解得:??m?127. 2(5)若对于任意a?[?1,1],函数f(x)?x2?(a?4)x?4?2a的值恒大于零, 则x的取值范围是

解:设g(a)?(x?2)a?x2?4x?4,显然,x?2

2??x?3或x?2?g(?1)?2?x?x?4x?4?0则?,即?,解得:x>3或x<1. 2??x?2或x?1?g(1)?x?2?x?4x?4?0变式训练1: 当0?x?1时,函数y?ax?a?1的值有正值也有负值,则实数a的取

值范围是( ) A.a?解:D

1 2 B.a?1 C.a?11或a?1 D.?a?1 22log1x?2?x,log(x?2)??x,

例2.设x1,x2,x3依次是方程222x?x?2的实数根,试比较x1,x2,x3的大小 .

解:在同一坐标内作出函数y?x?2,从图中可以看出,0?x3?x1 又x2?0,故x2?x3?x1

变式训练2:已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?3)?f(x?1),且x∈[-1,1]时,

y?log1x,y??2x的图象

2f(x)?|x|,则y?f(x)与y?log5x的图象交点的个数是( )

A.3 B.4 C.5

D.6

f(x?3)?f(x?1)知

f(x?2)?f(x)故f(x)是周期为2的函数,在同一坐标系中作出y?f(x)与y?log5x的图象,可以看出,交点个数为4.

例3. 已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b为常数,且a?0) 满足条件:f(x?1)?f(3?x),且方程f(x)?2x有等根. (1)求f(x)的解析式;

(2)是否存在实数m、n(m?n),使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由.

2解:(1)∵方程ax2?bx?2x有等根,∴??(b?2)?0,得b=2 .

由f(x?1)?f(3?x)知此函数图象的对称轴方程为x??2故f(x)??x?2x .

2(2)f(x)??(x?1)?1?1,∴4n?1,即n?b?1,得a??1, 2a1 41时,f(x)在[m,n]上为增函数. 42而抛物线y??x?2x的对称轴为x?1 ∴n?若满足题设条件的m,n存在,则??f(m)?4m,

f(n)?4n?2???m?2m?4m?m?0或m??2即?2??

n?0或n??2??n?2n?4n??又m?n?1, ∴m??2,n?0,这时定义域为[–2,0],值域为[–8,0]. 4由以上知满足条件的m、n存在, m??2,n?0. 变式训练3:已知函数f(x)?11? ((a?0,x?0). ax(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;

(3)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求a的取值范围. 解:(1)证明 任取x1?x2?0

111111x?xf(x1)?f(x2)?(?)?(?)???12

ax1ax2x2x1x1x2∵x1?x2?0,∴x1?x2?0,x1?x2?0,

∴f(x1)?f(x2)?0,即f(x1)?f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解: ∵

11??2x在(0,+∞)上恒成立,且a>0, ax∴

a?12x?1在(0,+∞)上恒成立, x令

g(x)?112x?1x?122x?1x?212时取等号 4,当且仅当2x?(x?0)即x=

x22要使

a?1在(0,+∞)上恒成立,则a?

2x?4x故a的取值范围是[

2,+∞). 41a1n?1?0 a(3)解: 由(1)f(x)在定义域上是增函数. ∴m?f(m),n?f(n),即m2?m?1?0,n2?故方程x2?11x?1?0有两个不相等的正根m,n,注意到m?n?1,m?n??0 aa11故只需要(??()2?4?0,由于a?0,则0?a? .

a2例4.若函数f(x)?2?|x?1|?m的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是( )

A.0?m?1 B.0?m?1 C.m?1或m?0 D.m?1或m?0 解:令f(x)?0,得:m?()|12x?1|,∵ |x?1|?0,∴ 0?()|12x?1|?1,即0?m?1.

变式训练4:对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.

2已知函数f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)

(1)当a?1,b??2时,求f(x)的不动点;

(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;

2解:(1)当a?1,b??2时,f(x)?x?x?3

由题意可知x?x2?x?3,得x1??1,x2?3 故当当a?1,b??2时,f(x)的不动点 ?1,3.

2(2)∵f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)恒有两个不动点,

2∴x?ax?(b?1)x?b?1,

即ax2?bx?b?1?0恒有两相异实根

2∴??b?4ab?4a?0(b?R)恒成立.

2于是???(4a)?16a?0解得

故当b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时,0?a?1.

小结归纳 本节主要注意以下几个问题:

1.利用函数的图象求方程的解的个数; 2.一元二次方程的根的分布;

3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题

2020高三数学高考《函数》专题学案:函数与方程

第9课时函数与方程基础过关1.一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标.2.
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