2024年福建名校联盟高考原创系列卷（23）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足z(1?i)?a?i(a?R)，若z为纯虚数，则z?（ ）
11A．i B．?i C．i D．?i
22?x?1???22.已知集合A??xy??，B?{x|x?3x?4?0}，则A?RB??（ ）
x?2????A．{x|x??1} B．? C．{x|x?4} D．{x|x??1或x?4}
3.通过对2024年全国避暑旅游消费情况和市场规模进行分析，中国旅游研究院发布了《2024年中国避暑旅游大数据报告》.数据显示，某地区2024年避暑游年龄分布情况如图所示.现按照分层抽样的方法从该地区抽取一个容量为n的样本，若其中90后比00后多65人，则n?（ ） A．450 B．500 C．550 D．600
?2x?1,x??1,4.已知函数f?x???则不等式f(x)?2的解集为（ ）
?log2x,x?1,A．[4,??) B．(0,1] C．(1,4] D．[log23,??) 5.过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作直线x?y?1?0的垂线，垂足为Q，若FQ?2，则p?（ ）
1A． B．1 C．2 D．4
26.已知命题p：函数f(x)?ax（a?0，且a?1）在R上单调递增；命题q：关于x的不等式ax2?3x?1?0恒成立，若命题p?q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
?9??9?A．(0,1) B．?1,? C．?,??? D．(1,??)
?4??4?x2?1π???x?1?x??的部分图像大致为（ ） 7.函数f(x)?cosx2??
8.《九章算术》中将底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体称为刍甍（刍甍字面意思为茅草屋顶）.现有一刍甍的三视图如图所示，则该刍甍的5个面中，面积最大的面与面积最小的面的面积之差为（ ）
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A．33?4 B．23 C．8?3 D．10?3 9.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)?f(1?x)，且当x?[?1,0]时，f(x)单调递减，则下列关系正确的是（ ）
?1?A．f(2024)?(2024) B．f(2024)???
?2??1?C．f???(2024) D．f(2024)?f(2024)
2??10.2024年初，在抗击新冠肺炎疫情阻击战中，一大批医务工作者奋斗在最前线.现有援助专家组成员7人，其中3男4女，需要分配到3个不同的医院参与救治工作，其中每个医院男、女医生各1名，剩下1名医生作为该专家组协调成员，则不同的分配方案有（ ） A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
11.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上.过点P作该正方体的截面，当截面平行
AP于平面B1D1C且截面的面积为3时，的值为（ ）
AD2331A． B． C． D． 24223n?n?12.已知数列?n?的前n项和为Sn，若不等式n?Sn?t?n对一切n?N*恒成立，则实数t的取值
43?3?范围为（ ）
?1??5??1??1?A．?,??? B．?,??? C．??,??? D．??,???
?6??36??12??18?二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量a?(?1,2)，b?(2,m)，若a?b?4，则实数m的值为________.
2214.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an?1?an?2an?1?2an?0，则S9?9a1的值为________.
π?π?15.已知函数f(x)?tan??x??(??0)，将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的
3?4??π?图像，若函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点?,0?对称，则?的最小值为________.
?3?x2y2?1(a?0,b?0)的右焦点为F(c,0)，直线y?kx与圆(x?c)2?y2?b2相切于点16.已知双曲线?abA，延长FA与双曲线的左支交于点B.若3FA?AB，则双曲线的离心率为________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB?a?2bcosB?b?2ccosB?c?0. （1）求角B的大小；
（2）若b?4，求△ABC的面积的最大值. 18.（12分）
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如图，平面四边形ABC1D1中，C1D1?AD1，E为AD1的中点，BE∥C1D1，AD1?EB?2D1C1?4，现将四边形EBC1D1沿EB翻折，使得二面角C?BE?A的大小为120?，连接AD，F为AD的中点. （1）证明：AD?平面BEF；
（2）设点C在平面EAB内的射影为H，求二面角F?HB?E的余弦值.
19.（12分）
随着春节前在外工作的人们不断返回家乡，路上的车流量加大了，某汽车加油站为了更准确地了解每天的加油情况，以便增加工作人员与及时调配油的储存量，统计了一周内（7天）第t天某时间段内每台加油机加油金额的平均数y（单位：元）（为使样本具有代表性，相关数据经过初步处理，）得到下面散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图可知一周内（7天）每天某时间段内加油金额的平均数y与时间t存在线性相关关系，请求出y关于t的线性回归方程，并预测第8天该时间段内加油金额的平均数；
（2）为鼓励车主在该加油站加油，该加油站特推出“加油送福利”大酬宾活动，该活动有如下两种方案：
11方案一：收款时，设计程序对油费随机减免.根据统计结果得知，约有的概率享受8折优惠，有
1242的概率享受9折优惠，有的概率享受9.5折优惠，但不再参加抽奖活动.
3方案二：加油金额每满200元可参加一次抽奖活动，但不再享受油费随机减免活动，活动规则如下：转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域，则立减80元；若停在B区域，则立减40元；若停在C区域，则不返券.例如：若加油金额为420元，则可转动转盘2次，所获得的减免金额是2次金额之和.
若小王刚好在该加油站加了400元汽油，则从数学期望的角度看，他选择哪种方案优惠力度更大.
参考公式：回归方程y?bx?a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b??xyii?1nni?nxy?nx2??(xi?1nni?x)(yi?y)，a?y?bx.
i?xi?12i?(xi?1?x)2
20.（12分）
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x2y23已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1(?2,0)，A2(2,0)，离心率为，点M2ab在x轴上，直线l经过点M交椭圆C于A，B两点（异于A1，A2两点）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若AM?2MB，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，求|AB|的值.
21.（12分）
已知函数f(x)?xex?2ax?a，g(x)?alnx?ax?e，a?R.
?(x)??2a?e?2；（1）若?(x)?f?(x)（其中f?(x)为f(x)的导函数），求函数?(x)的单调区间，并证明：
（2）若函数h(x)?f(x)?g(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x??1?tcos?,π在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是?（t为参数，0???π且??），
2?y?tsin?1?x???,???曲线C1的参数方程是?（?为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
1?y??2???2?标系，曲线C2的极坐标方程为??1.
（1）求C1的普通方程以及C2的直角坐标方程；
（2）若直线l与C1，C2共有三个公共点，求tan?的取值范围.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
110已知不等式x?3?x??的解集为M.
33（1）求M；
（2）设集合M中元素的最大、最小值分别为m，n，a?0，b?0，a3?b3?ab，证明：11??m?n?0. ab
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系列卷(23)理科数学试卷
