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届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

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高考数学中求轨迹方程的常见方法

一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例1 已知点A(?2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA?PB?x,则点P的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解:PA?(?2?x,?y),PB?(3?x,?y) ,?PA?PB?(?2?x)(3?x)?y2

2?x2?x?6?y2. 由条件,x2?x?6?y2?x2,整理得y2?x?6,此即点P的轨迹方程,所以P的

轨迹为抛物线,选D.

二、定义法

定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程.

例2 已知?ABC中,?A、?B、?C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列,且

a?c?b,AB?2,求顶点C的轨迹方程.

解:如右图,以直线AB为x轴,线段AB的中点为原

C y 点建立直角坐标系. 由题意,a,c,b构成等差数列,?2c?a?b, A O B x 即|CA|?|CB|?2|AB|?4,又CB?CA,?C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,a??2,c??1,

x2y2b??3,故C的轨迹方程为??1(x?0,x??2).

43三、代入法

当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示,再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即得到动点P的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法.

例3 如图,从双曲线C:x?y?1上一点Q引直线

22y P Q N O x l:x?y?2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.

解:设P(x,y),Q(x1,y1),则N(2x?x1,2y?y1).?N在直线l上, ?2x?x1?2y?y1?2.① 又PN?l得

y?y1?1,即x?y?y1?x1?0.②

x?x13x?y?2?x?3x?y?223y?x?22?12联解①②得?.又点在双曲线上,Q?()?()?1,化简整理得:C?22?y?3y?x?21?2?2x2?2y2?2x?2y?1?0,此即动点P的轨迹方程.

四、几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质,发现动点的运动规律和要满足的条件,从而得到动点的轨迹方程.

例4 已知点A(?3,2)、B(1,?4),过A、B作两条互相垂直的直线l1和l2,求l1和l2的交点M的轨迹方程.

解:由平面几何知识可知,当?ABM为直角三角形时,点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点(?1,?1),半径为

15222AB?,方程为(x?1)?(y?1)?13. 故M的轨迹方程为22(x?1)2?(y?1)2?13.

五、参数法

参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得到x,y间的直接关系式,即得到所求轨迹方程.

例5 过抛物线y?2px(p?0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.

解:设M(x,y),直线OA的斜率为k(k?0),则直线OB的斜率为?21.直线OA的方程为y?kx,k?x??y?kx??由?2解得??y?2px?y???2pk2,即A(2p,2p),同理可得B(2pk2,?2pk).

k2k2pkp?2x??pk?2k2由中点坐标公式,得?,消去k,得y?p(x?2p),此即点M的轨迹方程. ??y?p?pk?k? 六、交轨法

求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.

x2y2例6 如右图,垂直于x轴的直线交双曲线2?2?1于

aby M P A1 O A2 N x M、N两点,A1,A2为双曲线的左、右顶点,求直线A1M与

A2N的交点P的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

解:设P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,?y1),又A1(?a,0),A2(a,0),可得 直线A1M的方程为y?y1?y1(x?a)①;直线A2N的方程为y?(x?a)②. x1?ax1?ax12y12?y12b22222①×②得y?2(x?a)③. 又?2?2?1,??y1?2(a?x12),代入③得2abax1?a2b22x2y22y??2(x?a),化简得2?2?1,此即点P的轨迹方程. 当a?b时,点P的轨迹是以原点为

aab2圆心、a为半径的圆;当a?b时,点P的轨迹是椭圆.

高考动点轨迹问题专题讲解

(一)选择、填空题

1.( )已知F1、F2是定点,|F1F2|?8,动点M满足|MF1|?|MF2|?8,则动点M的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

2.( )设M(0,5),N(0,?5),?MNP的周长为36,则?MNP的顶点P的轨迹方程是

x2y2x2y2??1(x?0) (B)??1(x?0) (A)

25169144169x2y2x2y2??1(y?0) (D)??1(y?0) (C)

169251691443.与圆x?y?4x?0外切,又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;

22x2y2??1上运动,则?F1F2P的重心G的轨迹方程是 ; 4.P在以F1、F2为焦点的双曲线

169

225.已知圆C:(x?3)?y?16内一点A(3, 0),圆C上一动点Q, AQ的垂直平

x2?y2?1 分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为 .46.△ABC的顶点为A(?5, 0)、B(5, 0),△ABC的内切圆圆心在直线x?3上,则顶

x2y2??1(x?3) 点C的轨迹方程是 ;

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届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.例1已知点A(?2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA?PB?x,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线<
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