等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：2、通项公式：
an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q qan?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：
ana?q?n?mn amam（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?ab或A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式： （1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'为常数） 1?q1?q5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 an（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 （3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若
an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17、等比数列的性质：
（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。
（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2 注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???
等差和等比数列比较：
等差数列 等比数列 1 / 12
定义 递推公式 通项公式 中项 A?an?1?an?d an?1?q(q?0) anan?an?1q；an?amqn?m an?an?1?d；an?am?n?md an?a1?(n?1)d an?a1qn?1（a1,q?0） an?k?an?k2 （n,k?N*,n?k?0） G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0）n(a1?an) 2Sn?前n项和 n(n?1)Sn?na1?d2 ?na1(q?1)?Sn??a11?qn a1?anq?(q?2)?1?q?1?q??重要 性质 aqam?an?ap? ,m?n?p?q)(m,n,p,q?N*am?an?ap?aq (m,n,p,q?N*,m?n?p?q)经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列{an}中，a1?a9?64, a3?a7?20,求a11.
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a1和
q，可得a11；或注意到下标1?9?3?7，可以利用性质可求出a3、a7，再求a11. 解析：
8??a1?a9?a1?a1q?64法一：设此数列公比为q，则?26??a3?a7?a1q?a1q?20(1)(2)
由(2)得：a1q2(1?q4)?20..........(3) ∴a1?0.
由(1)得：(a1q4)2?64 , ∴a1q4?8 ......(4)
1?q4205?， (3)÷(4)得：2?q82∴2q4?5q2?2?0,解得q2?2或q2?1 2当q2?2时，a1?2，a11?a1?q10?64； 当q2?1时，a1?32，a11?a1?q10?1. 2法二：∵a1?a9?a3?a7?64,又a3?a7?20,
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∴a3、a7为方程x2?20x?64?0的两实数根，
?a3?16 ∴? 或
?a7?42?a3?4 ??a7?16a72∵a3?a11?a7, ∴a11??1或a11?64.
a3总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三：
【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。 【答案】±96
法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96； 法二：a52=a1a9?a5=±48?q=±2，∴a6=±96。
【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。 【答案】64；
2?16，又an＞0，∴a45=4 ∵a1a89?a453?64。 ∴a44a45a46?a45【变式3】已知等比数列{an}，若a1?a2?a3?7，a1a2a3?8，求an。 【答案】an?2n?1或an?23?n；
32?8，∴a2?2 法一：∵a1a3?a2，∴a1a2a3?a2?a1?a3?5,解之得a1?1，a3?4或a1?4，a3?1 从而??a1a3?4当a1?1时，q?2；当a1?4时，q?故an?2n?1或an?23?n。
法二：由等比数列的定义知a2?a1q，a3?a1q2
2??a1?a1q?a1q?7代入已知得? 2??a1?a1q?a1q?822??a1(1?q?q)?7,?a1(1?q?q)?7,(1)??33??
(2)??a1q?2?a1q?81。 2将a1?
2
代入（1）得2q2?5q?2?0， q
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解得q?2或q?1 2?a?4?a1?1?1由（2）得?或?1 ，以下同方法一。
q?2q????2类型二：等比数列的前n项和公式
例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.
因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
a1(1?q3)a1(1?q6)2a1(1?q9)??由S3?S6?2S9得，，
1?q1?q1?q整理得q3(2q6-q3-1)=0，
由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，
341因q≠1，故q??，所以q??。
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3举一反三：
11【变式1】求等比数列1,,,L的前6项和。
39【答案】
364； 2431∵a1?1，q?，n?6
3??1?6?1??1????63??364??31??????∴S6?。 ???1?????123243??????1?3【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5. 【答案】121或32121； 9a1(1?q3)1?q?3或q?，则a1=1或a1=9 ∵a?27?a2?3，13?1?q31??9?1－??1?3535?121??121或S5＝＝∴S5?.
11?391－3【变式3】在等比数列{an}中，a1?an?66，a2?an?1?128，Sn?126，求n和q。
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【答案】q?1或2，n?6； 2∵a2?an?1?a1?an，∴a1an?128
?a1an?128?a1?64?a1?2解方程组?，得? 或?
a?2a?64a?a?66?1n?n?n?a1?64a?aq1①将?代入Sn?1n，得q?，
1?q2?an?2由an?a1qn?1，解得n?6；
?a1?2a?aq②将?代入Sn?1n，得q?2，
1?q?an?64由an?a1qn?1，解得n?6。 ∴q?1或2，n?6。 2类型三：等比数列的性质
例3. 等比数列{an}中，若a5?a6?9,求log3a1?log3a2?...?log3a10. 解析：
∵{an}是等比数列，∴a1?a10?a2?a9?a3?a8?a4?a7?a5?a6?9
∴log3a1?log3a2???log3a10?log3(a1?a2?a3La10)?log3(a5?a6)5?log395?10 举一反三：
【变式1】正项等比数列{an}中，若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________. 【答案】100；
∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100) 而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51
∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。
827【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
32________。 【答案】216；
法一：设这个等比数列为{an}，其公比为q，
8278819∵a1?，a5??a1q4??q4，∴q4?，q2?
323164?8?∴a2?a3?a4?a1q?a1q2?a1q3?a13?q6????3?3?9?????63?216。 ?4?5 / 12
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等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版
