高中数学学习材料
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3.1第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [答案] B
[解析] a·b＝0?a⊥b，|a|2＝|b|2?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)； a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均错． 2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量 →→C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 [答案] B
[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表．．．→→→→示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是→→CA·CB＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
→→→→
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则AC1( ) 111
A．i＋j＋k B.i＋j＋k
325C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
[答案] C
4．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，→→→
N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 C．3 [答案] D
[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否→→→
则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA、BM、BN共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0， ∴存在实数k，使d＝kc，
λμ
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
kk∴c与a、b共面与条件矛盾． ∴d与a，b不共面． 同理可证④也是正确的．
5．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a C．c [答案] C
11
[解析] ∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，
2211
∵b＝p－q，∴b与p、q共面，
22∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，
∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C. 6．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
B．b D．无法确定 B．2 D．4
→→→
②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．
其中正确的命题是( ) A．仅① C．①② [答案] B
→
[解析] ①对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，∴①错；②∵OA、→→→→→→→→OB、OC不能构成空间的基底，∴OA、OB、OC必共面，故存在实数λ，μ，使OA＝λOB＋μOC，∴O、A、B、C四点共面，
∴②正确．
→
7．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 [答案] D
→
[解析] 向量AB的坐标与B点的坐标不同．
8．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，→→→→
若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )
111?A.??4，4，4? 111?C.??3，3，3? [答案] A
[解析] 连AG1交BC于E，则E为BC中点， →1→→1→→→AE＝(AB＋AC)＝(OB－2OA＋OC)，
22→2→1→→→AG1＝AE＝(OB－2OA＋OC)，
33
333?B.??4，4，4? 222?D.??3，3，3?
B．仅② D．都不正确
3→→→→
∵OG＝3GG1＝3(OG1－OG)，∴OG＝OG1，
4→3→3→→∴OG＝OG1＝(OA＋AG1)
443→1→2→1→
＝(OA＋OB－OA＋OC) 43331→1→1→
＝OA＋OB＋OC，故选A. 444
9．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 [答案] A
[解析] 由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况．空间中任两个向量都是共面的，故D错．
10．对于空间的四个向量a，b，c，d最多能构成的基底个数是( ) A．1 C．3 [答案] D
[解析] 最多的情况是a，b，c，d中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．
二、填空题
11．已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________．
51[答案] －1 －
22
[解析] d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，
又因为d＝e1＋2e2＋3e3，e1、e2、e3不共面，
B．2 D．4
α＋β＋γ＝1??
∴?α＋β－γ＝2??α－β＋γ＝3
?
?，解得?β＝－1
1?γ＝－?2
5α＝
2
.
12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．
31
[答案] (，，－1) (1,1,1)
22[解析] 由条件p＝2a＋b－c.
设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则 p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， ∵a、b、c不共面， x＋y＝2??
∴?x－y＝1??z＝－1
x＝?
?2，∴?1
y＝2??z＝－1
3
.
31
即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，，－1)，
22同理可求p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．
→→→
13．(2010·商丘高二检测)在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的→
中点，E为AD的中点，则OE＝________.
111
[答案] a＋b＋c
244
14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC→→→→
的中点，N为AC中点，以{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为________．
11
[答案] (，0，－)
22
→→→1→→1→→1→1→
[解析] MN＝BN－BM＝(BA＋BC)－(BP＋BC)＝BA－BP，
2222
高中数学人教A版选修2-13.1第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示
