第一章 随机事件与概率
第一节 随机事件
教学目的:了解概率的主要任务及其研究对象;掌握随机试验、随机事件等基本概念;掌握随机事件间的关系与运算,了解其运算规律。 教学重点:随机试验,随机事件,事件间的关系与运算。 教学难点:事件(关系、运算)与集合的对应,用运算表示复杂事件。 教学内容: 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象:在一定的条件下,出现不确定结果的现象。 研究现象:概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验(E) 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复;②试验的所有可能结果不只一个,但事先已知;③每次试验出现一个且出现一个,哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 (1)基本事件:E中的结果(能直接观察到,不可再分),也称为样本点,用?表示。 (2)样本空间:E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间,用?表示。 4、随机事件 (1)随机事件:随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。 (2)随机事件的集合表示 (3)随机事件的图形表示
必然事件(?)和不可能事件(E) 5、事件间的关系与运算
(1)包含(子事件)与相等 (2)和事件(加法运算) (2)积事件(乘法运算) (3)互斥关系
(4)对立关系(逆事件) (5)差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 (1)交换律;(2)结合律;(3)分配律;(4)对偶律 教学时数:2学时 作 业:习题一 1、2
第二节 概率的定义
教学目的:掌握概率的古典定义,几何定义,统计定义及这三种概率的计算方法;了解概率的基本性质。 教学难点:古典概率的计算,频率性质与统计概率。
教学内容: 1、概率
用于表示事件A发生可能性大小的数称为事件A的概率,用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率
(1)古典型试验:特点①基本事件只有有限个;②所有基本事件的发生是等可能的。 (2)古典概率,在古典型试验中规定
P(A)=
A中含的基本事件数k?
?中基本事件总数n
3、几何型试验与几何概率 (1)几何型试验
向区域G内投点,点落在G内每一点处是等可能的,落在子区域G1内(称事件A发生)
的概率与G1的度量成正比,而与G1的位置和形状无关。
(2)几何概率。在几何型试验中规律定
P(A)=
4、频率与统计概率 (1)事件的概率
设在n次重复试验中,事件A发生了r次,则称比值
G1的度量
G的度量r为在这n次试验中事件A发生n的频率,记为fn(A)?
(2)频率的性质
r n10?f(A)?1;○2f(?)?1;○3f(?)?0; ○nnn4AB??时,f(A?B)?f(A)?f(B); ○nnn5 随机性:r的出现是不确定的;○6稳定性:f(A)?p(n??) ○n(3)统计概率,规定
P(A)=P
(4)统计概率的计算
p(A)?
r (n很大) n5、概率的基本性质
从以上三种定义的概率中可归纳得到: (1)0?P(A)?1; (2)P(?)?1 (3)P(?)?0
(4)若AB=?,则p(A?B)?P(A)?P(B) 教学时数:2学时
作 业:习题 一 4、7、8、11
第三节 概率的公理化体系
教学目的:掌握概率的公理化定义及概率的性质;会用概率的基本公式求概率。 教学重点:概率的公理化定义;概率基本公式。 教学难点:用概率基本公式计算概率。 教学内容:
1、概率的公理化定义
(1)为什么要用公理定义概率 1数学特点 ;○2深入研究的需要;○3是第二节中三种特殊形式的扩展。 ○
(2)定义
设A为随机试验E中的任何事件,如果函数P(A)满足 公理一(范围) 0?P(A)?1; 公理二(正则性) P(?)?1;
公理三(可列可加性)。若可列个事件A1,A2,A3?An?两个互斥,则
p(?An)??P(An)
n?1n?1??则称P(A)为事件A的概率。 2、概率的性质 从公理出发,可以严格证明
性质1:P(?)?0
性质2:若事件A1,A2,A3?An?两两互斥,则p(性质3:对任何事件A,P(A)?1?P(A) 性质4:若A?B,则P(A-B)?P(B)-P(A)
‘性质4 P(BA)?P(B-A)?P(B)-P(AB)
?A)??P(A)
iin?1n?1nn
注:○1P(AB)?P(A-B)?P(A)-P(AB) ○2A?BP(A)?P(B)
性质5 P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)
注:性质5对任意有限个事件情况可以扩展 教学时数:2学时
作 业:习题一 15、16
第四节 条件概率,乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式
教学目的:理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式,全概率公式和贝叶斯公式的应用。 教学重点:条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点:条件概率的确定,用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。 教学内容: 1、条件概率
(1)实际问题中要确定在某事件已发生时,另一事件的概率,看书p20例,在具体问
题求条件概率。 (2)定义:若P(B)>0,称
P(A|B)?为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。 2、概率的乘法公式
(1) P(AB)?P(B)?P(AB)
P(AB) P(B) ?P(A)?P(BA)
(2) P(ABC)?P(A)P(BA)P(CAB)
(3) P(A1A2?An)?p(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?PAnA1A2?An?1 3、概率的全概率公式与贝叶斯公式
(1)看书p23。例3 分析和解决看两公式的实际背景。 (2) 定理1 设事件A1,A2,A3?An两两互斥,且P(Ai)?0??(i?1,2,?n),对于任何
事件B,若
?Ai?1ni?B,则有p(B)??P(Ai)p(BAi) (全概率公式)
i?1n
(3) 定理2 ,定理1中的事件中,又P(B)?0,则有
P(AmB)?
P(Am)p(BAm)?P(A)p(BA)iii?1n (m=1,2,?n)(贝叶斯公式)
教学时数:2学时
作 业:习题一 12、14、17、18
第五节 独立试验概型
教学目的:掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算;掌握贝努里概型,会用二项概率公式计算概率。 教学重点:事件独立性的概念,具有独立性的事件但相应的概率计算,贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。 教学内容: 1、两事件的独立性 定义1 对任意两事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互独立。 2、两事件独立的性质
若事件A与B独立,则事件A与B,A与B,A与B都相互独立。
3、三事件的独立性 定义2 设有事件A、B、C,若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C),则称事件A,B,C,两两相互独立;又,若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。 4、n个事件的独立性
定义3、设有事件A1,A2,A3?An,若P(Ai1)p(Ai2)?pAis 其中(i1,i2,?,is)为
??(1,2,?n)中任意S个不同的数。(s?2,3,
5、独立情况的概率公式
,n)则事件A1,A2,A3?An相互独立。
定理1.设事件A1,A2,A3?An相互独立,则
(1)P(
?A)??P(A)
iii?1ni?1nn
(2)P(?A)?1??P(A)
iii?1i?1n
定理2、若事件A,B,C独立,则A?B、AB、A?B分别与C独立。 6、贝努里概型
(1)贝努里试验:只有两个结果(A和A)的试验。
P(A)?p,P(A)?q,0?P?1,p?q?1