第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题
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圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现．
[真题体验]
x2y2
1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线y＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
3pp2
A．2 C．4
B．3 D．8
x2y2
解析：D [由椭圆＋＝1，知半焦距c＝3p－p＝2p，
3pp∴2p＝，∴p＝8.]
2
px2y2
2．(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直
ab径的圆与圆x＋y＝a交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.2 C．2
2
2
2
2
B.3 D.5
?c?22c22
解析：A [以OF为直径的圆为?x－?＋y＝，即x＋y－cx＝0，
4?2?
a2
与圆x＋y＝a相减得直线PQ的方程为x＝，
c2
2
2
|PQ|
由勾股定理得：＝2a4aba－2＝，
cc2
2ab∴|PQ|＝＝c，
c∴2ab＝c，平方得：4ab＝c，∴4a(c－a)＝c， 化简得：e－4e＋4＝0，∴e＝2，即e＝2.]
4
2
2
22242224
x2y2
3．(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点Pab在过A且斜率为
2A. 31C. 3
解析：D [如图直线AP的方程为y＝
3
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( ) 6
1B. 21D. 4
3
(x＋a)， ① 6
直线PF2的方程为y＝3(x－c)，② ①与②联立解得：x＝∴P?
a＋6c5
，y＝
3
(a＋c)， 5
3?a＋6c?，a＋c?， 5?5?
∴|PF2|＝
?a＋6c－c?2＋3a＋c?5?25??
2
22
＝(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c， 55
c1∴a＝4c，∴e＝＝.]
a4
4．(2018·全国Ⅲ卷)已知点M(－1,1)和抛物线C：y＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于
2
A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
??y＝4x解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由?
?y＝kx－1?
2
得kx－(2k＋4)x＋k＝0，设A(x1，y1)，
2222
B(x2，y2)．
2k＋4
则x1＋x2＝2，x1·x2＝1.
2
k∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1 解
y1－1y2－1
·＝－1. x1＋1x2＋1
2
化简得k－4k＋4＝0，解得k＝2. 答案：2
[主干整合]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．圆锥曲线的标准方程
x2y2y2x2
(1)椭圆：2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
ababx2y2y2x2
(2)双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
abab(3)拋物线：y＝2px，y＝－2px，x＝2py，x＝－2py(p＞0)．
2
2
2
2
2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题教学案
