?性质3 幂级数?an?0nnxn的和函数S(x)在其收敛区间(?R,R)内可导,且逐项??求导公式S?(x)?(?an?0?x)???(anx)???nanxn?1(|x|?R),逐项求导后所nnn?0n?1得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. xn(?1)n?1收敛半径和收敛域. 例1 求下幂级数 ?n?1n?xn例2 求幂级数?的收敛域. n!n?0?例3 求?nxn?1?n?1的收敛域及和函数,并求n的和. ?nn?12?xn例4 求幂级数?的和函数. n?1n?0? 作业P277 1、2 教学后记
泰山学院数学与统计学院教案
教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日
课 题 函数展开成幂级数 课 时 x2 了解函数展开为泰勒级数的充分、必要条件.掌握e、sinx、cosx、ln(1?x)和教学目的 (1?x)m的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点 难点 重点 幂级数的展开式. 难点 求幂级数的展开式. 教学方法 讲解 教 学 过 程 与 内 容 课 型 新课 备 注
一、泰勒级数 定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n??时的极限为零,即limRn(x)?0,x?U(x0). n??x0?0时的泰勒级数称为函数f(x)的麦克劳林级数. 二、函数展开成幂级数 (一)直接展开法 函数f(x)展开成x的幂级数的步骤: (1) 求f(x)的各阶导数; (2) 求f(n)(0)(n?1,2,?); (3) 写出幂级数?n?0?f(n)(0)nx,并求出收敛半径R; n!(4) 考察当x在区间(?R,R)内时余项Rn(x)是否趋于零,如果趋于零,则f(x)在(?R,R)内的幂级数展开式为 f\(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x??(?R?x?R). 2!n!' 例1 将函数f(x)?e展开成x的幂级数. x备 注
利用同样的方法,我们可以得到 x3x5x2n?1n?1sinx?x?????(?1)??(???x???). 3!5!(2n?1)!1213(?1)n?1nln(1?x)?x?x?x???x??(?1?x?1). 23n(1?x)m?1?mx?m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??(?1?x?1)2!n! (二)间接展开法 例2 将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数. 例3 把函数f(x)?(1?x)ln(1?x)展开成x的幂级数. 例4 将函数sinx展开成(x?例5 将函数f(x)??4)的幂级数. 1展开成（x-1）的幂级数. x2?4x?3m例6 将函数f(x)?(1?x)展开成x的幂级数，其中m为任意实数. 作 P285 4、6 业 教学后记
泰山学院数学与统计学院教案
教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日
课 题 函数的幂级数展开式的应用 课 时 2 教学目的 掌握利用幂级数展开式作近似计算、解微分方程的方法，了解欧拉公式的概念. 重点 难点 重点 利用幂级数的展开式进行近似计算. 难点 欧拉公式的应用. 教学方法 讲解 教 学 过 程 与 内 容 课 型 新课 备 注
高等数学教案12解剖
