泰山学院数学与统计学院教案
教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日
课 题 常数项级数的审敛法（二） 课 时 2 教学目的 掌握正项级数收敛性的根值判别法和交错级数的莱布尼兹判别法.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系. 重点 难点 重点 正项级数收敛性的根值判别法和交错级数的莱布尼兹判别法. 难点 绝对收敛与条件收敛 教学方法 讲解 教 学 过 程 与 内 容 课 型 新课 备 注
定理5（根值审敛法）设?un?1?n为正项级数，如果它的一般项un的n次根的极限等于?：limnun??，则当??1时，级数收敛，??1（或limnun???）n??n??时级数发散，??1时级数可能收敛也可能发散。 ?n?例5 判别级数???的收敛性。 2n?1?n?1?定理6（极限审敛法）设?n?un?1?n为正项级数， ?（1）如果limnun?l?0（或limnun???），则级数n??n????un?1n发散； （2）如果p>1,而limnun?l(0?l???),则级数n???p?un?1n收敛。 例7 判定级数?n?1n?1(1?cos)的收敛性。 n?二、交错级数及其审敛法 一个级数的各项如果是正负相间的就叫做交错级数。若un?0（un?0也一样）n?1,2,3?，则u1?u2?u3?u4???(?1)n?1un??就是一个交错级数。 定理7（莱布尼兹定理） 备 注
?对于交错级数?(?1)n?1 n?1un（其中un?0，n?1,2,?），若满足 （1）un?un?1; （2）limun?0 n??则级数?(?1)n?1?n?1un收敛，其和S?u1，且余项rn的绝对值rn?un?1。 例8 判断级数?(?1)n?1?n?11的敛散性。 n三、绝对收敛与条件收敛 定理8 若?un?1?n收敛,则?un?1??n也收敛. 必须指出，此定理的逆定理不成立。 定义 若?un?1n?n收敛，则称?un?1n是绝对收敛的；如果?un?1?n收敛而?un?1?n发散，则称?un?1?是条件收敛的。 例12 判断 sinn?的敛散性。 ?2nn?1?作 业 P268 1、2、3、5 教学后记 泰山学院数学与统计学院教案
教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日
课 题 幂 级 数 课 时 2 教学目的 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和. 重点 难点 重点 幂级数的收敛域. 难点 幂级数求和. 教学方法 讲解 教 学 过 程 与 内 容 一、函数项级数的概念 课 型 新课 备 注 定义1 设f1,f2,?,fn,?是定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，记作{fn}或fn，n?1,2,3,?. 定义2 设x0?E, 以x0代入函数列f1,f2,?,fn,?的数列f1?x0?,f2?x0?,?,fn?x0?,?. 如果数列{fn(x0)}收敛, 我们称函数列{fn}在点x0收敛, 点x0为函数列{fn}的收敛点. 如果数列{fn(x0)}发散, 称函数列{fn}在发散, 点x0为函数列{fn}的发散点.如果在数集D?E上的每一点函数列 f1,f2,?,fn,?都收敛, 则我们称函数列{fn}在D上收敛.记作n??limfn(x)?f(x),x?D,f(x)称为函数列{fn}在D上极限函数, 或称为函数列{fn}在D上收敛与f(x). 定义3(函数列{fn(x)}在D上收敛于f(x)??N的定义) 对每一个固定的x0?D,对???0,存在正整数N,当n?N时,有fn?x0??f?x0???,我们称函数列{fn?x?}在D上收敛与f(x)，记作limfn(x)?f(x),x?D或fn(x)?f(x)n??（n??）,x?D.
二、幂级数及其收敛性 定理1(阿贝尔定理) 如果级数备 注 ?an?0? nnx0当x0?0（x0?0）时收敛,则适合 不等式x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛，反之,如果级数时发散，则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数发散. 推论 如果幂级数?an?0?nxn当x0?0?an?0?nxn不是仅在x?0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在,使得 (1) 当|x|?R时,幂级数绝对收敛; (2) 当|x|?R时,幂级数发散; (3) 当x?R与x??R时,幂级数可能收敛也可能发散. ?an?1定理2 如果lim??,其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项的系n??an?0n?1??,??0,??数, 则这幂级数的收敛半径R????,??0, ?0,????.???三、幂级数的运算 (一) 幂级数的代数运算 (1) 加、减法 (2) 乘法 (3) 除法 (二) 幂级数的和函数的性质 性质1 幂级数?an?0??nxn的和函数S(x)在其收敛域I上连续. 性质2 幂级数式 nax并有逐项积分公?n的和函数S(x)在其收敛域I上可积，n?0?x0S(x)dx??[?anx]dx???anxdx??nn0n?0n?00x??xann?1x(x?I), n?1n?0?逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
高等数学教案12解剖
