泰山学院数学与统计学院教案
教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日
课 题 常数项级数的概念和性质 课 时 2 教学目的 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.掌握几何级数收敛与发散的条件. 重点 难点 重点 级数收敛与发散的概念. 难点 用级数收敛的概念及基本性质判别一些级数的收敛性问题. 教学方法 讲解 教 学 过 程 与 内 容 课 型 新课 备 注
一、常数项级数的概念 设已给序列?un?:u1,u2,为,un,，数学式子u1?u2?u3???un??(或记?un?1?n)称为无穷级数,简称级数,其中un叫做级数的通项(或一般项). ?1?1各项都是常数的级数叫做数项级数,如?,?等. n!n(n?1)n?1n?1定义 如果级数?un?1?n的部分和数列?Sn?有极限S,即limSn?S,则称无穷n???级数?un?1?n收敛,这时极限S叫做这级数的和,记为??un?1n?S;如果?Sn?没有极 限,则称无穷级数?un?1n发散.此时称rn?S?Sn为无穷级数第n项以后的余项. 例1 无穷级数?aqn?0?n?a?aq?aq2???aqn?1??叫做等比级数（几何级数）其中a?0，试讨论其收敛性。（当q?1时收敛,当q?1q叫作级数的公比，时发散. ） 例2 证明级数1?2?3???n??是发散的. 二、收敛级数的基本性质 备 注
??性质1 如果级数?un?1n收敛于和S,则级数???kun?1 也收敛,且其和为kS. ?n性质2 若已知两收敛级数?un?1n?s,?vn??,则?(un?vn)?s??. n?1n?1性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. 性质4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛,而且其和不变. 推论 一个级数如果添加括号后所得的新级数发散,那么原级数一定发散. 注：如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,?(1?1)收敛,但级数1?1?1?1?1?1??发散. n?1?性质5(级数收敛的必要条件) 若级数例3 判断下列级数的敛散性: ⑴ ?un?1?n收敛,则limun?0. n?????n?1n?1?n, 1?1??1?1???3?3?????n?n3?3??2?2????, ?? ⑵ ?1?11??1????2?23?23??2 ⑶ 1111??3???n??. 33331的收敛性。 ?2nn?1?例4 利用柯西审敛原理判定级数作 P254 3、4 业 教学后记 泰山学院数学与统计学院教案
教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日
课 题 常数项级数的审敛法（一） 课 时 2 教学目的 掌握正项级数收敛性的比较判别法及其极限形式和比值审敛法.掌握p?级数的收敛与发散的条件. 重点 难点 重点 正项级数的比较审敛法、比值审敛法. 难点 p?级数的敛散性的判定. 教学方法 讲解 教 学 过 程 与 内 容 一、正项级数及其审敛法 定理1 正项级数课 型 新课 备 注 ?un?1?n收敛的充分必要条件是它的部分和数列?Sn?有界. ??定理2（比较审敛法）设?un?1n和??vn?1nn都是正项级数,且un?vn(n?1,2,?). ⑴ 若级数?vn?1??n收敛,则级数?un?1?也收敛; ⑵ 若级数?un?1?nn发散,则级数??vn?1n也发散. 推论 设?un?1?和?vn?1n都是正项级数,且un?vn(n?1,2,?). ⑴ 若级数?vn?1n收敛,且存在自然数N,使当n?N时有un?kvn(k?0)成立,则级数?un?1?n也收敛； ?⑵ 若级数?vn?1n发散,且存在自然数N,使当n?N时有un?kvn(k?0)成立,则级数
?un?1?n也发散.
例1 讨论p?级数1?例2 证明级数111??????的收敛性,其中常数p?0 ppp23n备 注 ?n?1?1n(n?1)是发散的. 定理3（比较审敛法的极限形式）设?un?1?n和?vn?1?n都是正项级数，如果 ??un?l,(0?l???)，且级数?vn收敛，则级数?un收敛。 （1）limn??vn?1n?1n??unun?l?0或lim???，（2）lim且级数?vn发散，则级数?un发散。 n??vn??vn?1n?1nn?例3 判别级数?sinn?11的收敛性. n定理4（比值审敛法）设?un是正项级数，且limn?1?un?1??，则 n??un（1） 当??1时，级数?un?1?n收敛； ?（2） 当??1（包括??）时，级数?un?1n发散。 例4 判别级数11.21.2.3n!?2?3?...??...的收敛性. 101010n10例5 判断n!的敛散性。 ?nnn?1?注：当limun?1?1时，比值审敛法失效。 n??un作业 教学后记
高等数学教案12解剖
