甘谷一中2024——2024学年高三第七次检测
数学（理）
命题人：马虎森 王霞霞
第I卷（选择题）
一．单选题。本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．i是虚数单位，z?4i 则|z|? 1?iA 2 B 22 C 4 D 42 ?x?2?2. 若集合A??x?0?，B??x?1?x?2?，则AB?
?x?1?A??2，1? 2? B(-1，2) C (-1，1) D ??1，3．已知向量a?2，b?1，a(a?2b)?2，则a在b方向上的投影为:
A 2 B 1 C ?2 D?1
4．函数y?1的图象大致为:
x?ln(x?1)A B C D
5.函数y?loga?x?3??1?a?0且a?1?的图象恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0上，其中mn?0，则
11?的最小值为:; mnA 3?22 B 5 C3?22 D3?2 6.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取此点取自等边三角形内的概率是 :
ABC的
一点，则
A
3333 B C D 2??34??23??32??237.公差为2的等差数列
?an?，a1?1,又
bn?1anan?1，则?bn?的前n项和Tn为:
1
n2n?1n?1A 2n?1 B 2n?1 C 2n?1 D 2n?1
8．已知圆x2?y2?r2 (r?0)与抛物线y2?2x交于A,B两点，与抛物线的准线交于C,D两点，若四边形
ABCD是矩形，则r等于 :
A
52 B C
222 D5 9．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为: A．
3264642? B．? C．? D．32? 33310．函数f(x)的定义域为R，且f(x)?f(x?3)，当?2?x?0时，f(x)?(x?1)2；当0?x?1时，
f(x)??2x?1，则f(1)?f(2)?f(3)??f(2024)?
A 671 B 673 C 1343 D1345
x2y211.已知双曲线2?2?1的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B，以线段A1F2为
ab直径的圆交线段A1B的延长线于点P，若BA2//PF2,则双曲线渐近线为:
A y??2x By??2x C y??3x Dy??x
12．设函数f(x)是定义在(??,0)上的可导函数，其导函数为f?(x)，且有2f(x)?xf?(x)?x2，则不等式
(x?2024)2f(x?2024)?4f(?2)?0 的解集为:
,0) B (??,?2024) C (?2016,0) D(??,?2016) A (?2024
第II卷（非选择题）
二、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分.
?x?113．若x，y满足??y??1,则z?x?2y的最大值为 .
?x?y?3??1?14．在??1??x??x?1的展开式中常数项等于 .
?515.数列?an?满足：a116.给出下列命题: ①
2
?1,an?1?2an?1:?a?的前n项和为Snn，则Sn? _______.
?204?x2dx?2?
②命题“?x?R, x??m?1?x?1?0”为假命题，则实数m的取值范围为?1,3.
2??③”
” 是 ”直线l1:ax?2y?1?0与直线l2:(a?1)x?ay?4?0垂直”的充要条件.
④对于任意实数x，有f(?x)??f(x),g(?x)?g(x),且x?0时,f'(x)?0,g'(x)?0, 则x?0时,f'(x)?g'(x); 其中真命题的为_______________．
三、解答题本题共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)
在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A?sin2B?sinAsinB?2csinC， ?ABC的面积S?abc.
(Ⅰ)求角C；
(Ⅱ)求?ABC周长的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所生的成绩均在区间?30,150?内，其频率分布直方图如
（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线； （2）从初赛得分在区间?110,150?的参赛者中，分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，从得分在区间?110,130?与?130,150?各抽取多少
（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全
源:Zxxk.Com]有学图．
利用那么人？市座交流
[来谈交流，设X表示得分在?110,130?中参加全市座谈
的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在?110,130?给予500元奖励，若该生分数在?130,150?给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。
19.(本小题满分12分)
如图，三棱台ABC?EFG的底面是正三角形，平面ABC?平面CB?2GF，BF?CF.
BCGF，
(Ⅰ)求证：AB?CG；
(Ⅱ)若BC?CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
3
20.(本小题满分12分)
x2y25椭圆E:2?2?1 (a?b?0)的离心率是，过点P(0,1)做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A,Bab3两点，当直线l垂直于y轴时|AB|?33． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M(m,0)，使得?AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由． 21.(本小题满分12分) 已知函数
f(x)?12ax?(1?x)ex，g(x)?x?(1?a)lnx? ，a?1． 2x（1）求曲线
f(x)在x?1处的切线方程；
（2）讨论函数g(x)的极小值；
（3）若对任意的x1?[?1,0]，总存在x2?[e,3]，使得f(x1)?g(x2)成立，求实数a的取值范围。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分。 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(?为参数).在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴
?y?sin?建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为?2?4?sin??3. (Ⅰ)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；
(Ⅱ)若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求PQ的最大值. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知f?x??3x?2. (Ⅰ)求f?x??1的解集；
(Ⅱ)若f?x2??ax恒成立，求实数a的最大值.
4
高三第七次检测数学理科答案
一.选择题: 1 B 2C 3B 4A 5C 6D 7A 8B 9C 10D 11D 12B
二.填空题: 13，6 14， 9 15， 2n?1?n?2 16，②④ 117.(12分)解：(Ⅰ)由S?abc?absinC可知2c?sinC，
2[来源:Zxxk.Com]
∴sin2A?sin2B?sinAsinB?sin2C. 由正弦定理得a2?b2?ab?c2.
12?由余弦定理得cosC??，∴C?. …………………………5分
23(Ⅱ)由(Ⅰ)知2c?sinC，∴2a?sinA，2b?sinB. ?ABC的周长为a?b?c??1?sinA?sinB?sinC? 21?3????sinA?sin?A? ???2??3??4?????1?313sinA?cosA?sinA????2?224???1?133sinA?cosA????2?24?2?1??3?sin?A?.??234??
???3????2??????sinA?， 1?， ∵A??0，，∴ ?，∴A???， ??????323333????????∴?ABC的周长的取值范围为???32?3?， ?. ……………………………12分 24??18(12分)解（1）由题意知[30,90]的频率为：20?(0.0025?0.0075?0.0075)?0.35，
[110,150]的频率为：20?(0.0050?0.0125)?0.35
所以分数在[90,110]的频率为：1?0.35?0.35?0.3 ………………1分从而分数在[90,110]的a?0.3?0.015， ………………………2分 20[来源学科网ZXXK]
假设该最低分数线为x,由题意得0.35?(x?90)?0.015?0.5解得x?100． 故复赛资格最低分数线应划为100分。 ………………………4分
（2）在区间?110,130?与?130,150?，0.0125:0.0050?5:2， 在区间?110,150?的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，
分在区间?110,130?与?130,150?分别抽取5人，2人． …………7分 （3）X的可能取值为2，3，4，则：
5
0CCCCC54C2241 ……………10分 P(X?2)??;P(X?3)??;P(X?4)??444C77C77C7725223512
Y 2600 2 72300 472000[来源:Zxxk.Com] P [来源:学科网]1 7?E(Y)?2600?24116400(元)． ………………………12分 ?2300??2000??777719.(12分)解：(Ⅰ)取BC的中点为D，连结DF.
由ABC?EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC//FG. //GF， ∵CB?2GF，∴CD?∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG//DF. ∵BF?CF，D为BC的中点， ∴DF?BC，∴CG?BC.
∵平面ABC?平面BCGF，且交线为BC，CG?平面BCGF， ∴CG⊥平面ABC，而AB?平面ABC，
∴CG?AB. ………………………5分 (Ⅱ)连结AD.
由?ABC是正三角形，且D为中点得，AD?BC. 由(Ⅰ)知，CG⊥平面ABC，CG//DF，
DF?BC，∴DB，DF，DA两两垂直. ∴DF?AD，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图坐标系D?xyz.
13 0， 3)，E(?，设BC?2，则A(0，)，B(1，0，0)，G(-1，3，0)， 3， 22 3， ?∴AE????，?1?2?33?3?BE??， 3， ，，BG??2， 3， 0????2?.……………8分 22??????设平面BEG的一个法向量为n??x，y，z?.
??2x?3y?0， ?BG?n?0??由?可得，?3. ∴n?3BE?n?0?x?3y?z?0????22?3， 2， ?1. ………………10分
?设AE与平面BEG所成角为?，则sin??cos?AE， n??AE?nAE?n?6.………………12分 46
1?27??4a2b2?1?33??2,120，(12分)解（Ⅰ）由已知椭圆过点?，可得?22…………………3分 ??2??a?b?c????c?5?3?ax2y2??1. ……………5分 解得a?9,b?4所以椭圆的E方程为9422（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点C(x0,y0)
由??y?kx?1消去
?x2y2?1??4?9y得(4?9k2)x2?18kx?27?0，显然??0
x1?x2?9k4?, y?kx?1?. …………………7分 002224?9k4?9k19k4)? 当k?0时，设过点C且与l垂直的直线方程y??(x?k4?9k24?9k25m??……………………………9分 将M(m,0)代入得：4?9kk若k?0，则4?9k?24?9k=12，
所以x0?kk若k?0，则4?9k??[?4?(?9k)]?2?4?(?9k)=?12
kkk所以?55?m?0或0?m?………………………………………11分
1212当k?0时，m?0
综上所述，存在点M满足条件,m取值范围是?55?m?.……………12分 121221，(12分)解：（1）因为，，切点
故曲线（2）
在处的切线方程为
,
，即．4分
的定义域
1?aax2?(a?1)x?a(x?a)(x?1) g?(x)?1?， ?2??xxx2x2∴当∴
在
时，
或
，
,
，
，
上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
∴g(x)极小?g(1)?1?a，
7
当a?0时，g(x)极小?g(1)?1?a，
综上g(x)极小?g(1)?1?a， ……………8分 （3）对任意的x1?[?1,0]，总存在x2?[e,等价于当
3]，使得f(x1)?g(x2)成立，
f(x)在[?1,0]上的最小值大于g(x)在[e,3]上的最小值，
时，
，
在
上递减，
，
由（2）知，g(x)在x2?[e,∴1?e?(a?1)?3]上递增，g(x)min?g(e)?e?(a?1)?a，
eae2?2e，即a?，又ee?1e2?2e， ∴a?(,1)…………12分
e?122.(本小题满分10分)
x2解：(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为?y2?1，
4曲线C2的直角坐标方程为x2?y2?4y?3，即x2??y?2??1.…………………………5分
sin?). (Ⅱ)设P点的坐标为(2cos?，2PQ?PC2?1?4cos2???sin??2??1??3sin2??4sin??8?1
2212?1. …………………………10分 当sin???时，PQmax=33223.(本小题满分10分)
解：(Ⅰ)由f?x??1得|3x?2|?1， 1所以?1?3x?2?1，解得?1?x??，
31??所以，f?x??1的解集为??1，??. …………………………5分
3??(Ⅱ)f?x2??ax恒成立，即3x2?2?ax恒成立. 当x?0时，a?R；
3x2?22?3x?. 当x?0时，a?xx因为3x?622?26(当且仅当3x?，即x?时等号成立)，
3xx所以a?26，即a的最大值是26. …………………………10分
8
甘肃省甘谷第一中学2024届高三第七次检测数学（理）试题
