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知识点14 一元二次方程的几何应用
一、选择题
7．（2020·遵义）如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（ ）
A． (30－2x) (40－x)＝600 B． (30－x) (40－x)＝600 C． (30－x) (40－2x)＝600 D． (30－2x) (40－2x)＝600 {答案}D
{解析}本题考查一元二次方程的应用，找出图形中的等量关系是解题的关键．由题意得，无盖纸盒的底面长为(40－2x) cm，宽为(30－2x) cm，根据该无盖纸盒的底面积为600cm2,列方程为(30－2x) (40－2x)＝600，故选D. 11．（2020·衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等 宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 （ ） A.35×20 -35x -20x +2x2= 600 B.35×20- 35x -2 × 20x =600 C. (35 -2x)(20-x) =600 D. (35-x)(20 -2x) =600
(第11题图)
{答案}C{解析}本题考查了列一元二次方程，利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点，得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35-2x）米，宽为（20-x）米，∴可列方程为（35-2x）（20-x）=600，故选C． 二、填空题
15．（2020·南通）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12
步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽为x步，则可列方程为 ▲ ．
{答案}x(x＋12)＝864 {解析}设矩形田地的宽为x步，那么长就应该是(x＋12)步．根据矩形面积＝长×宽，得：x(x＋12)＝864．故答案为：x(x＋12)＝864．
（2020·山西）14．如图是－张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为_________．
{答案}2cm
底面{解析}本题考查一元二次方程的应用．设剪去的正方形的边长为x，根据底面积是24cm2
12cm1得一元二次方程：（10－2x）（12－2 x）＝24，解得x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去:），2故答案为2cm.
10cm三、解答题
24．（2020·遵义）如图，抛物线y＝ax2＋
9x＋c经过点A（－1，0）和点C (0， 3)4yPCMBx与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形?若存在，求出点Q的坐标;若不存在请说明理由;
(3)以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
AO{解析}本题考查二次函数与圆综合．（1）将已知点A（－1，0）和点C (0， 3)代入抛物线y＝ax2＋
1
9x＋c列42020中考试题分类 欢迎关注“南瓜讲数学”微信公众号：hzlqqgzs2019
出方程组，解方程组求得a，c即可；（2）先假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于点H，得H 3(0，)，进而得点Q的坐标，最后检验Q是否在抛物线上即可，注意分类讨论：①点Q在y轴右边，②点Q
2在y轴左边；（3）⊙M与坐标轴相切，需要分⊙M与x轴相切或与y轴相切讨论即可. 93{答案}解: (1) 把A (－1，0)， C(0，3)代入y ＝ax2 ＋x＋c，解得a＝－，c＝3．
4439x2＋x＋3． 44(2)不存在，理由如下①点Q在y轴右边时，如图，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于点H，
故抛物线解析式为: y＝－
33333333因OC＝3，则OH＝，QH＝则Q (，),当x＝时，
2222239273333x2＋x＋3＝－ 所以使得△QCO是等边三角形的点Q－≠，故假设不成立．441628不存在．
yCHAOQBxy＝－
②点Q在y轴左边时，如图，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于点T， 333333因OC＝3，则OT＝，QT＝，则Q (－，)．
22223933273333时， y＝－x2＋x＋3＝－－≠，故假设不成立．
4416228所以使得△QCO是等边三角形的点Q不存在．
yCQTBAOx当x＝－39 (3) 令y＝0，则－x2＋x＋3＝0，解得x1＝－1， x2＝4．∴B (4， 0) ．
44令x＝0，则y＝3，∴C(0， 3) ．设直线BC的解析式为y ＝kx＋b，把B (4， 0) ， C(0， 3)代入，
3??0?4k?b,?k??,3 解得?4∴直线BC的解析式为y ＝－x＋3． 得?4?3?b.??b?3.393设P(x，－x2＋x＋3)，则M(x，－x＋3)如图，当⊙M与x轴相切于点D时，
444xyCPMBAODx3933有PM＝MD， 即（－x2＋x＋3）－（－x＋3）＝－x＋3,整理，得x2－5x＋4＝0．
4444解得x1＝1， x2＝4 (舍去) ．
399当x＝1时，y＝－x＋3＝．∴⊙M的半径为．
44431515当⊙M与x轴相切于点A时，x＝－1，此时y＝－x＋3＝．∴⊙M的半径为．
444393如图，当⊙M与y轴相切于点E时，有PM＝ME，即（－x2＋x＋3）－（－x＋3）
444＝x
AyMCBOxyPCEAOMBx88整理，得3x2－8x＝0．解得x1＝， x2＝0 (舍去) ．∴⊙M的半径为．
33如图，当⊙M与y轴相切于点F时，有PM＝MF， 393即－（－x2＋x＋3）＋（－x＋3）＝x
44416整理，得3x2－16x＝0．解得x1＝， x2＝0 (舍去) ．
3yCABDMOFx∴⊙M的半径为
16915816．综上，⊙M的半径为或或或． 344332
P
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