2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何
⌒ 、AC⌒的中点．过1、（2009二试1）如图，M，N分别为锐角三角形?ABC（?A??B）的外接圆?上弧BC点C作PC∥MN交圆?于P点，I为?ABC的内心，连接PI并延长交圆?于T．
⑴求证：MP?MT?NP?NT；
⌒（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，，）⑵在弧ABTB，记?AQC，△QCB的内心分别为I1，I2， 求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
AQNITAPCMNPCMITPNCMII2BBI1ABTQ【解析】⑴连NI，MI．由于PC∥MN，P，C，M，N共圆， 故PCMN是等腰梯形．因此NP?MC，PM?NC． 连AM，CI，则AM与CI交于I，因为
?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI，所以MC?MI．
同理NC?NI．
于是NP?MI，PM?NI．
故四边形MPNI为平行四边形．因此S△PMT?S△PNT（同底，等高）． 又P，N，T，M四点共圆，故?TNP??PMT?180?，由三角形面积公式 111S△PMT?PM?MTsin?PMT?S△PNT?PN?NTsin?PNT?PN?NTsin?PMT
222于是PM?MT?PN?NT．
又因?I1NT??QNT??QMT??I2MT，有?I1NT∽?I2MT． 故?NTI1??MTI2，从而?I1QI2??NQM??NTM??I1TI2． 因此Q，I1，I2，T四点共圆．学&科网
2、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
22222同理QK?QO?r?KO?r，
AOBEKDCPQNM???2?所以PO?PK?QO?QK，
故OK⊥PQ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
222AQAP?．① QNPM由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
NBDEAQ???1，② BDEAQNMCDEAP???1．③ CDEAPMNBMCNDMD??由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是?DMN??DCB，所以BC∥MN，BDCDBDDC故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而A,B,D,C四点共圆. 注1：“PK?P的幂（关于⊙O）?K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
2PK?KF?AK?KE，④
则P，E，F，A四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC，⑤
⑤-④，得
PK2?PE?PC?AK?KE?P的幂（关于⊙O）?K的幂（关于⊙O）．
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