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专题四 归纳与猜想
归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．
考向一 数字规律问题
数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题． 【例1】 如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7
则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.
(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________. 解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3， a52＝6，a53＝7，
所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.
对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．
根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.
答案：(1)0 (2)0
方法归纳 解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．
考向二 数式规律问题
解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．
【例2】 给出下列命题：
1
命题1：直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是(1,1)；
x2?1?命题2：直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是?，4?； x?2?3?1?命题3：直线y＝27x与双曲线y＝有一个交点是?，9?； x?3?4?1?命题4：直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是?，16?； x?4?
……
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(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)； (2)请验证你猜想的命题n是真命题．
n?12?3
解：(1)命题n：直线y＝nx与双曲线y＝有一个交点是?，n?；
x?n?
12?12?332
(2)将?，n?代入直线y＝nx得：右边＝n×＝n，左边＝n，
n??
n∴左边＝右边．
?12?3
∴点?，n?在直线y＝nx上．
?n?
n?12?同理可证：点?，n?在双曲线y＝上，
?n?
xn?12?3
∴直线y＝nx与双曲线y＝有一个交点是?，n?.
x?n?
方法归纳 此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．
对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．
考向三 数形规律问题 根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．
【例3】 用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．
解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，
1
所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
2
1
答案：n(n＋1)
2
方法归纳 解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．
一、选择题 1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K4K5，K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2 011等于( )
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2 011π2 011π2 011π2 011πA． B． C． D．
2346
2. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为( )
?3?2 010?9?2 011?9?2 009?3?4 020
A．5?? B．5?? C．5?? D．5??
?2??4??4??2?二、填空题
3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．
4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．
5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2 012的坐标为__________．
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三、解答题
6．观察下列算式：
2
①1×3－2＝3－4＝－1
2
②2×4－3＝8－9＝－1
2
③3×5－4＝15－16＝－1
④__________________________ ……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来； (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 7．观察图形，解答问题：
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×(－1)×2＝－1 (－3)×(－4)×(－5)＝－60 三个角上三个数的和 1＋(－1)＋2＝2 (－3)＋(－4)＋(－5)＝－12 积与和的商 －2÷2＝－1 (2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x. 8．(1)△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．
图1
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(湖南专用)中考数学总复习-专题四-归纳与猜想(专题讲练+名师解读+考向例析+提升演练)(含解析
