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∴MF=BC﹣BM﹣CF=4﹣﹣（4﹣在RT△EFM中，EF=
=
）=， ．故④正确，
②错误．假设DF=EF，∵DE=DF， ∴EF=DE=DF，
∴△DEF是等边三角形， ∴∠DFE=60°，
∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，
这显然不可能，假设不成立，故②错误． 故正确的有3个，选C
11．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（ ） ①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：（1）PA平分∠BAC． ∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP， ∴△APR≌△APS， ∴∠PAR=∠PAS， ∴PA平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；
（3）∵AQ=PR， ∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
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又∵PA平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠1， ∴∠PQS=∠BAC， ∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC， ∴∠BRP=∠CSP， ∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）． 故选B．
12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角， ∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点， ∴AP=CP，
在△APE和△CPF中，
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，
∴△APE≌△CPF（ASA）， 同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确； 故AE=FC，BE=AF， ∴AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，故④不成立． 始终正确的是①②③． 故选B．
二．填空题（共6小题）
13．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 4 ．
【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE， ∵∠DAE=∠ADE=15°， ∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°， ∴∠DEG=15°×2=30°， ∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG=DE=4， ∴DF=DG=4． 故答案为：4．
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14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE= 3 ．
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB． 故∠B=∠EAB=22.5°， 所以∠AEC=45°． 又∵∠C=90°， ∴△ACE为等腰三角形 所以CE=AC=3， 故可得AE=3故答案为：3
15．如图，已知点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是 4 ．
． ．
【解答】解：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，
∵点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，OG⊥AB，OH⊥CD， ∴OG=OE=2，OH=OE=2， ∴OG+OH=4，
∴点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是4，
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故答案为：4．
16．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为5cm，则△ADE的周长为 5 cm．
【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴AD=BD，AE=EC， ∵边BC长为5cm， ∴BD+DE+EC=5cm， ∴AD+ED+AE=5cm， 故答案为：5．
17．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为
．
【解答】解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°， ∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
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最新中考数学专题-三角形全等与角平分线,垂直平分线
