高考数学考点专题：解析几何：直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系

【考点梳理】

1．直线与圆的位置关系

(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，

222

??x－a?＋?y－b?＝r，(2)由?

?Ax＋By＋C＝0

消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 则直线与圆的位置关系如下表

方法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 几何特征 外离 d>R＋r 无实 数解 4 外切 d＝R＋r 一组实 数解 3 相交 R－r< dr 代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 代数特征 公切线条数 【教材改编】

1．(必修2 P132A组T1改编)直线4x－3y＋10＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝( )

A．1 C．5 [答案] B

[解析] 由题意得r＝

B．2 D．10

1022＝2.故选B. 4＋?－3?

2．(必修2 P132练习T1改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )

A．[－3，－1] C．[－3,1] [答案] C

[解析] 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， |a－0＋1|

∴2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.

1＋?－1?23．(必修2 P127例1改编)直线l：3x＋y＋m＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为10，则m的值为( )

A．m＝4或m＝6 C．m＝4或m＝－6 [答案] C

[解析] 圆C：x2＋y2－2y－4＝0化为x2＋(y－1)2＝5.圆心为(0,1)，半径r＝5. |3×0＋1＋m||1＋m|

∴C(0,1)到l的距离d＝＝，∴截得的弦长为2r2－d2＝22103＋12

?1＋m?25－10＝10.

解得m＝4或m＝－6，故选C.

4．(必修2 P133A组T7改编)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )

B．m＝－4或m＝6 D．m＝－4或m＝－6 B．[－1,3]

D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

A．8 C．6 [答案] C

B．4 D．2

[解析] 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心?m??－2，0?， ??

m

即－2＋3＝0，∴m＝6.

5．(必修2 P131例5改编)已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为( )

A．5 C．15 [答案] A

[解析] 如图，作OP⊥AC于P，

B．10 D．20

OQ⊥BD于Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.

又AC2＋BD2≥2AC·BD， 则AC·BD≤10，

11∴S四边形ABCD＝2AC·BD≤2×10＝5，

当且仅当AC＝BD＝10时等号成立，∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.

6．(必修2 P133A组T8改编)Rt△ABC中，斜边|BC|＝6，以BC的中点为圆心，半径为2的圆与BC分别交于P，Q.则|AP|2＋|AQ|2＝________.