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高中数学：函数解析式的十一种方法
一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法
七、利用给定的特性求解析式.
一、定义法：
六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法
【例1】设f(x?1)?x2?3x?2，求f(x).
?f(x?1)?x2?3x?2?[(x?1)?1]2?3[(x?1)?1]?2 =(x?1)2?5(x?1)?6 ?f(x)?x2?5x?6
【例2】设f[f(x)]?【解析】设?x?1，求f(x). x?211?11?x?f(x)?1 1?xf[f(x)]?x?1x?1??x?2x?1?1
1111【例3】设f(x?)?x2?2,g(x?)?x3?3，求f[g(x)].
xxxx11122【解析】?f(x?)?x?2?(x?)?2?f(x)?x2?2
xxx111313?g(x)?x3?3x 又?g(x?)?x?3?(x?)?3(x?)xxxx故
f[g(x)]?(x3?3x)2?2?x6?6x4?9x2?2
【例4】设f(cosx)?cos17x,求f(sinx).
【解析】
f(sinx)?f[cos(?x)]?cos17(?x)
22??.
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?cos(8??
??17x)?cos(?17x)?sin17x. 22?二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x) 【解析】设f(x)?ax?b (a?0)，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b
?a?2?a2?4?a??2?? ?? 或 ?b?1b?3??ab?b?3??f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3
【例2】已知f(x?2)?2x?9x?13，求f(x).
【解析】显然，则又
2f(x)是一个一元二次函数。设f(x)?ax2?bx?c(a?0)
f(x?2)?a(x?2)2?b(x?2)?c ?ax2?(b?4a)x?(4a?2b?c) f(x?2)?2x2?9x?13
?a?2?a?2??2比较系数得：?b?4a??9 解得：?b??1?f(x)?2x?x?3
?4a?2b?c?13?c?3??三、换元（或代换）法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
【例1】 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1) 【解析】令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2
Qf(x?1)?x?2x
?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1,
?f(x)?x2?1 (x?1)
?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)
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【例2】 已知
1?xx2?11f()??,求f(x). 2xxx1?xx2?11111?x1)???1?? 【解析】设则f(t)?f(?t,则x?22xxxxxxt?1?1?11??1?(t?1)2?(t?1)?t2?t?1?f(x)?x2?x?1 121()t?1t?12【例3】 设f(cosx?1)?cosx，求f(x).
解：令t?cosx?1,?cosx?t?1又?1?cosx?1,??2?cosx?1?0即?2?t?0
?f(t)?(t?1)2,(?2?t?0)即f(x)?(x?1)2,x?[?2,0]
x?1)?1?x （1） xx?1?1x?1x?1x?1x)?f()?1?在（1）式中以代替x得f(
x?1xxxxx?112x?1即f( （2） )?f(?)?xx?1x11x?2又以?代替（1）式中的x得：f(? （3） )?f(x)?x?1x?1x?1 【例4】 若f(x)?f(x?22x?1x3?x2?1x3?x2?1(1)?(3)?(2)得:2f(x)?1?x????f(x)?
x?1xx(x?1)2x(x?1)【例5】设f(x)满足af(x)?bf()?cx【解析】af(x)?bf(1x(其中a,b,c均不为0，且a??b)，求f(x)。
1111)?cx （1）用来代替x，得af()?bf(x)?c? （2） xxxx22acx2?bc由a?(1)?b?(2)得:(a?b)f(x)??a??bx
acx2?bc ?f(x)?22(a?b)x【例6】已知f(a【解析】设tx?1)?x2?2，求f(x).
?ax?1?0，则x?1?logat 即x?logat?1
f(t)?(logat?1)2?2?log2at?2logat?3
代入已知等式中，得：
?f(x)?log2ax?2logax?3
四、配凑法
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高中数学：函数解析式的十一种方法
