专题限时训练 (小题提速练)
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一、选择题
1．设M(x0，y0)为抛物线C：y2＝8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则x0的取值范围是( ) A．(2，＋∞) C．(0,2) 答案：A
解析：由题意知，|FM|>4，又由抛物线定义知， p
|FM|＝x0＋2＝x0＋2，∴x0＋2>4，∴x0>2.
x2y2
2．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) x2y2
A.36－108＝1 x2y2
C.108－36＝1 答案：B
解析：因为抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则由题意知，点F(－6,0)是双曲线的左焦点，所以a2＋b2＝c2＝36.
b
又双曲线的一条渐近线方程是y＝3x，所以a＝3，解得a2＝9，b2＝27.所以双x2y2
曲线的方程为9－27＝1.
3．探照灯反射镜的轴截面是抛物线y2＝2px(x>0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的焦点坐标是( ) ?45?A.?2，0? ???45?C.?8，0? ??答案：C
解析：本题考查抛物线的性质．依题意，点(40,30)位于抛物线y2＝2px上，于是
B．(4，＋∞) D．(0,4)
x2y2
B．9－27＝1 x2y2
D．27－9＝1
?45?B．?4，0?
???45?D．?16，0?
??
45?45?
有302＝2p×40，p＝4，焦点坐标是?8，0?.
??
4．(2024·昌平区二模)嫦娥四号月球探测器于2024年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
1
A.25 1C．8 答案：B
解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球半径为R，则a＋c＝400＋1 738，a－c＝1 738＋100，
1503解得a＝1 988，c＝150，所以e＝1 988≈40. x2y2
5．已知抛物线y＝4x的准线过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲
2
3B．40 3D．5
线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( ) A.5 C．3 答案：B
x2y2
解析：∵抛物线y＝4x的准线x＝－1过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，
2
B．25 D．23
b
∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y
ax＝±＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.
6．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆C：x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A．25－1 C.17－1 答案：C
B．25－2 D．17－2
解析：由抛物线定义可知，点P到准线的距离可转化为到焦点F的距离，即求|PQ|＋|PF|的最小值．因为|PQ|≥|PC|－1，所以|PQ|＋|PF|≥|PC|－1＋|PF|≥|FC|－1＝17－1.
7．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，若直线l上存在点M，使得|MA|＋|MB|＝3，则称直线l为“M型直线”．给出下列直线：
①x＝2；②y＝x＋3；③y＝－2x－1；④y＝1；⑤y＝2x＋3.其中是“M型直线”的条数为( ) A．1 C．3 答案：C
解析：因为|MB|＋|MA|＝3，所以点M在椭圆上．由题可知在椭圆中，c＝1，a35x2y2
＝2，b＝2，所以M型直线只需和椭圆9＋5＝1有交点即可，故①错误，④正
44确；直线y＝x＋3在坐标轴上的截距均大于椭圆的短半轴和长半轴长，所以②错误；直线y＝－2x－1，y＝2x＋3在x轴上截距在椭圆内或椭圆上，故③⑤正确． x2y2
8．经过椭圆4＋3＝1的右焦点任意作弦AB，过点A作直线x＝4的垂线AM，垂足为M，则直线BM必经过定点( ) A．(2,0) C．(3,0) 答案：B
x2y2
解析：依题意，选取过椭圆4＋3＝1的右焦点且垂直于x轴的弦AB，则A，B3??3?3???1，1，－4，?????的坐标分别为所以过点A作直线x＝4的垂线，垂足为M，2?，2?，2?????5
所以直线BM的方程为y＝x－2，
B．2 D．4
?5?B．?2，0?
???7?D．?2，0?
??
新课标高考数学(理)二轮总复习专题限时训练：1-5-2 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
