（浙江专用）高中数学课时跟踪检测（十六）一元二次不等式及
其解法（习题课）新人教A版必修5
课时跟踪检测（十六） 一元二次不等式及其解法（习题课）
A级——学考水平达标
1．不等式
x－1
≥2的解集为( ) xB．[－1,0)
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
A．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] 解析：选B 不等式
x－1x－1－x－1x＋1
≥2，即－2≥0，即≥0，所以≤0，等价于x(xxxxx＋1)≤0且x≠0，所以－1≤x<0.
4x＋2
2．不等式＞0的解集是( )
3x－1
???11A.?x?x＞或x＜－
32??????1
C.?x?x＞
3???
??
? ?????11
B.?x?－＜x＜3???2???1
D.?x?x＜－
2???
??
? ??
??
? ??
??
? ??
解析：选A
???11
?x?x＞或x＜－
32???
4x＋211
＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集为3x－132
???. ??
2
3．若不等式x＋mx＋>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
2A．(2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
2
mB．(－∞，2) D．(0,2)
解析：选D ∵不等式x＋mx＋>0，对x∈R恒成立，∴Δ<0即m－2m<0，∴0 24．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0 A．[15,20] C．(10,15) B．[10,15] D．(0,10] m2 解析：选B 由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得10≤t≤15. 5．若关于x的不等式x－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( ) A．1 C．－3 2 2 B．－1 D．3 2 解析：选C 由已知可得m≤x－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x－4x在(0,1]上为减函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3. 5－x6．不等式≥1的解集为________． x＋4 ???2x－1??x＋4?≤0，5－x1－2x2x－1 解析：因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于? x＋4x＋4x＋4?x＋4≠0，? 解得 1 －4 2 1??答案：?－4，? 2?? 7．若不等式x－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意，知x－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)－4×3m≤0，解4 得m≥. 3 2 2 2 ?4?答案：?，＋∞? ?3? 8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________． 解析：根据定义得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x＋x＋a－a，又(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x－x＋a＋1－a>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，132 即1－4(a＋1－a)<0，解得－ 22 2 2 2 2 ?13?答案：?－，? ?22? 9．已知f(x)＝－3x＋a(5－a)x＋b. (1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值； (2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围． 解：(1)由f(x)>0，得－3x＋a(5－a)x＋b>0， ∴3x－a(5－a)x－b<0.又f(x)>0的解集为(－1,3)， ??3＋a?5－a?－b＝0，∴? ?27－3a?5－a?－b＝0，? 2 2 2 ??a＝2， ∴? ?b＝9? ??a＝3， 或? ?b＝9.? (2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0， 即2a－10a＋(12－b)>0. 又对任意实数a，f(2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)－4×2(12－b)<0， 1?1?∴b<－，∴实数b的取值范围为?－∞，－?. 2?2? 10．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问： (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值． 解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件， 即f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%， 其中0 ?80?80－10P?·P%≥96，? (1)由? ??0 2 2 解得2≤P≤6. 故P的范围为[2,6]． (2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额， f(2)＝4 800(万元)． (3)∵0 g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． B级——高考能力达标 x＋51．不等式2≥2的解是( ) ?x－1? 1??A.?－3，? 2?? ?1?B.?－，3? ?2??1?D.?－，1?∪(1,3] ?2? 2 ?1?C.?，1?∪(1,3] ?2? ??x＋5≥2?x－1?，x＋5 解析：选D 2≥2?? ?x－1??x－1≠0? 1??－≤x≤3， ??2??x≠1， ?1?∴x∈?－，1?∪ ?2? (1,3]． ???x＋3 <02．已知集合M＝?x?x－1??? ?? ?，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( ) ?? A．M∩N C．?R(M∩N) 解析：选D B．M∪N D．?R(M∪N) x＋3 <0?(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－3 N在数轴上表示出来(如图)，易知答案． 3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( ) A．(1,3) C．(1,2) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 22 解析：选B 设g(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]? ??g?1?＝x－3x＋2>0，?2 ?g?－1?＝x－5x＋6>0? 2 ??x<1或x>2， ?? ?x<2或x>3? ?x<1或x>3. 2 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A．[15,30] C．[10,30] B．[12,25] D．[20,30] x40－y解析：选C 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x， 4040 ∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 5．若函数f(x)＝log2(x－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R，即x－2ax－a＞0对任意x∈R恒成立． ∴Δ＝(－2a)＋4a＜0. 解得－1＜a＜0. 答案：(－1,0) 6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________． 解析：5%< 2 2 2 2 x·4%＋200·7% <6%， x＋200 解得x的范围是(100,400)． 答案：(100,400) 7．已知不等式mx－2x＋m－2<0. 2 (1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围． 解：(1)对所有实数x，都有不等式mx－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx－2x＋m－2的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立； 当m≠0时，由二次函数的图象可知有 ??m<0，? ?Δ＝4－4m?m－2?<0，? 2 2 解得m<1－2， 综上可知，m的取值范围是(－∞，1－2)． (2)设g(m)＝(x＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x＋1>0，知g(m)在[－2,2]上为增函数，则只需g(2)<0即可， 即2x＋2－2x－2<0，解得0 8．已知函数f(x)＝x＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 解：(1)f(x)≥a恒成立，即x＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a－4(3－a)≤0，即a＋4a－12≤0， ∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]． 2 2 2 2 2 2 2 a?a?2 (2)f(x)＝x＋ax＋3＝?x＋?＋3－. 4?2? 2 2 ①当－<－2，即a>4时， 2 af(x)min＝f(－2)＝－2a＋7， 7 由－2a＋7≥a，得a≤，∴a∈?. 3 ②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－， 24由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2. 4③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7， 2由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4. 综上，可得a的取值范围为[－7,2]． aa2 a2a
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