习题十二
1．写出下列级数的一般项：
1111????L357(1)
(2)
；
xxxxx2????L22?42?4?62?4?6?8；
；
a3a5a7a9????L3579(3)
1Un?2n?1； 解：(1)
Un?
(2)
xn2?2n?!!；
n?1 (3)
2．求下列级数的和：
?Un???1?a2n?12n?1；
(1)
??x?n?1??x?n??x?n?1?n?11；
(2)
??n?1?n?2?2n?1?n?；
111?2?3?L5(3)55；
un?1?x?n?1??x?n??x?n?1?解：(1)
111?????2??x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???
11111????Sn??2?x?x?1??x?1??x?2??x?1??x?2??x?2??x?3?11??L???x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???111??????x??????2x?1x?nx?n?1??从而
11limSn?n??2x?x?1?，故级数的和为2x?x?1? 因此
(2)因为
Un??n?2?n?1???n?1?n?
Sn??3?2???2?1???4?3???3?2???5?4???4?3??L??n?2?n?1???n?1?n??n?2?n?1?1?21??1?2n?2?n?1从而
所以n??limSn?1?2，即级数的和为1?2．
111Sn??2?L?n5551??1?n?1????5??5????11?51??1?n???1????4??5??(3)因为
从而
3．判定下列级数的敛散性：
limSn?n???114，即级数的和为4．
(1)
??n?1n?1?n?；
1111???L??L?5n?4??5n?1?(2) 1?66?1111?16n22223n?12?3?3?L???1??Ln33(3) 331111??3?L?n?L555(4)5；
；
；
Sn??2?1???3?2??L??n?1?n?解：(1) 从而n???n?1?1，故级数发散．
limSn???1?1111111?Sn??1??????L???5?661111165n?45n?1?1?1???1??55n?1??(2)
11limSn?n??5，故原级数收敛，其和为5． 从而
2q??3的等比级数，且|q|<1，故级数收敛． (3)此级数为1Un?nlimUn?1?05(4)∵，而n??，故级数发散．
4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：
??1?n?1?n(1) n?1??；
cosnx?n2n?1(2) ；
?11??1?????3n?13n?23n?3??． n?1(3)
解：(1)当P为偶数时，
Un?1?Un?2?L?Un?p??1?n?2??1?n?3??1?n?4??1?n?p?1????L?n?1n?2n?3n?p??1111???L?n?1n?2n?3n?p1111??1??1????L?????n?p?2n?p?1?n?pn?1?n?2n?3???1?n?1当P为奇数时，
Un?1?Un?2?L?Un?p??1?n?2??1?n?3??1?n?4??1?n?p?1????L?n?1n?2n?3n?p??1111???L?n?1n?2n?3n?p11?1?1??1????L????n?p?1n?p?n?1?n?2n?3???1?n?1因而，对于任何自然数P，都有
Un?1?Un?2?L?Un?p?11?n?1n，
?1?N????1???，则当n>N时，对任何自然数P恒有Un?1?Un?2?L?Un?p??成立，由?ε>0，取
??1?n?1?n柯西审敛原理知，级数n?1?收敛．
(2)对于任意自然数P，都有
Un?1?Un?2?L?Un?pcos?n?p?xcos?n?1?xcos?n?2?x??L?2n?12n?22n?p111?n?1?n?2?L?n?p2221?1?1???2n?1?2p??11?211??n?1???2?2p?1?n2
1??log2?????，当n>N时，对任意的自然数P都有于是， ?ε>0(0<ε<1)，?N=?Un?1?Un?2?L?Un?p??(3)取P=n，则
成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．
Un?1?Un?2?L?Un?p111111???????L????3?2n?13?2n?23?2n?3?3?n?1??13?n?1??23?n?1??3?11??L?3?n?1??13?2n?1n?6?n?1?1?12
1?0?12，则对任意的n∈N，都存在P=n所得Un?1?Un?2?L?Un?p??0，由柯西审敛原理从而取
知，原级数发散．
5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
111??L??L????4?65?7n?3n?5(1)
1?21?31?n1???L??L2221?21?31?n(2)
πsin?3n(3)n?1?；
?；
(4)
n?1??12?n31n；
1?n1?an?1(5)
解：(1)∵
??a?0?；
(6)
??2n?1?1?．
Un?11?2?n?3??n?5?n
1?2而n?1n(2)∵
??收敛，由比较审敛法知
?Un?1?n收敛．
Un?1?n1?n1??221?nn?nn
1?而n?1n发散，由比较审敛法知，原级数发散．
ππsinnn33lim?limπ??πn??n??1π3n3n(3)∵
??ππsin??n3n也收敛． 而n?13收敛，故n?1sinUn?(4)∵
12?n3??1n31?1n32
?而
n?1?1n32?收敛，故
n?12?n3收敛．
??1111Un????nnnna1?an?1n?11?aa(5)当a>1时，，而收敛，故
11limUn?lim??0n??n??22当a=1时，，级数发散．
1limUn?lim?1?0n??n??1?an当0 也收敛． 综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0 2?1?ln2?1?1?1x??2x?11lim?ln2??2n?1x?0nnn?1n?1x(6)由知而发散，由比较审敛法知 lim1n??发散． 6．用比值判别法判别下列级数的敛散性： n2?n3n?1(1) ?； (2) ?3n?1?n!n?1； 332333n???L??L23n3?2n?2(3)1?22?2； 2n?n!?nnn?1(1) ?n2Un?n3解：(1) Un?1?n?1?23n1lim?limn?1?2??1n??Un??3n3n，， 由比值审敛法知，级数收敛．
高等数学课后习题答案
