数值分析 课程设计
多项式插值的震荡现象
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一、 问题的提出
在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。而插值多项式增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。下面就这个问题展开实验。
二、 实验内容
1. 设区间[-1,1]上的函数??(??)=1+25??2，对其等距划分，写出其拉格朗日插值
多项式为????(??)=∑????=01+25??2????(??)。通过不断增加分点数n=2,3,…。
??
1
1
并：I.画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像；
II.给出每一次逼近的最大误差； III.比较并分析实验结果。 2. 选择其他函数，如定义在区间[-5,5]上的函数?(??)=1+??4和??(??)=??????????????，
重复上述I、II、III三个步骤看其结果如何。 3. 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为????=
??+??2
??
+
?????2
???????(2(??+1)),k=1,2,…,n+1。
(2???1)??
以x1,?x2,…,?xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较
其结果。
三、 实验结果及分析
1. I.画出函数f(x)及其插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像，如下图，
（程序代码1.1.1）
II.由于fminbnd函数的不可靠性，先通过编程绘出每次逼近在定义区间上的误差如下图，（程序代码1.1.2）
观察图像可知每次逼近的最大误差在哪个区间，再通过编程缩小区间，得到其每次逼近最大误差为（截图如下，程序代码1.1.3），
III.比较并分析实验结果：
（1）在同一个坐标系中绘制f(x)及5次、7次等多次插值后的图像。从图中可以很清楚的看出，在[-0.4,0.4]的区间内，随着插值次数的增加插值图像越来越逼近f(x)，然而当|x|>0.8以后，插值曲线围绕原函数曲线发生剧烈震荡现象，尤其是插值次数越多时震荡越强烈。
（2）在同一个坐标系中绘制每次插值后的误差图像。从图中可以看出较大误差主要出现在中心及两段，而就每次逼近的最大误差分析。可以观察到：1.当插值次数在一定区间上增多时，其最大误差变小，即吻合度增高（5次插值最大误差是0.437，7次插值最大误差是0.2474）；2.而超过一定区间，随着插值次数增加其最大误差越大，而且其最大误差x的取值越趋向于两端，于是发生了震荡现象。
2. h(x)：
I.画出函数h(x)及其插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像，如下图（程序代码2.1.1）：
II. 同理先通过编程绘出每次逼近在定义区间上的误差如下图（程序代码2.1.2），
再通过缩小区间，编程计算每次逼近最大误差如下（截图如下，程序代码
2.1.3）：
III.比较并分析实验结果：
（1）在同一个坐标系中绘制h(x)及5次、10次等多次插值后的图像。与第一个实验相似，从图中可以看出，在[-3,3]的区间内，随着插值次数的增加插值图像越来越逼近h(x)，然而当|x|>4以后，插值曲线围绕原函数曲线发生剧烈震荡现象，而无论插值次数多少，震荡都很强烈。不过插值次数越多偏离越远，误差越大。
（2）就每次逼近的最大误差分析。可以观察到：随着插值次数的增加，在区间[-4,4]，插值函数的吻合度越大，甚至可以忽略误差。而在两端却误差增大许多，而且越趋向于两端点。 g(x)：
I.画出函数g(x)及其插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像，如下图（程序代码2.2.1），
多项式插值的震荡现象
