《高观点下的几何学》练习题参考答案
一
一、填空题。
1．公理法的三个基本问题是（ 相容性问题 ）、（ 独立性问题 ）和（ 完备性问题）。 2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述 ）、（ 公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。
3．仿射变换把矩形变成 平行四边形 4．仿射变换把平行线变成 平行线 5．仿射变换把正三角形变成 三角形 二、简答题。
1．试给一个罗氏几何的数学模型。
答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型
在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。 罗氏平面几何的原始概念解释成： 罗氏点：圆内的点；
罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。 结合关系：圆内原来的点和线的结合关系； 介于关系：圆内弦上三点的介于关系；
运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。
罗氏平行公理（在罗氏平面上） 通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。
2．试给一个黎曼几何的数学模型
答：黎曼几何的（F.KLein）模型 黎曼几何的原始概念解释成：
黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点； 黎氏直线：球面上的大圆； 黎氏平面：改造后的球面。 黎氏点与黎氏直线的基本关系：
(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线； (2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；
(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。 黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。
3．简述公理法的基本思想。
答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有
次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
4．简述公理系统的独立性
答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？
答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。
6．简述公理系统的完备性。
答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
7．简述公理系统的相容性。
答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。 任何一个公理系统都要满足无矛盾性。 证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。
三、选择题。
1．三角形内角和等于180度与（ A ）
A 欧氏平行公理等价 B 罗氏平行公理等价 C 椭圆几何平行公设等价 D 不可判定
2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）
A 平行公设不同 B 结合公理相同 C 绝对公设不同 D 结合公理不同
3．设点A,B,C共线，且在仿射变换下分别变成A',B',C'，则A',B',C'三点（ A ）
A．共线 B．三角形顶点 C．可能不共线 D．可能重合
4．正方形在仿射变换下变成（ B ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 ) （1）对边平行； （2）四角相等； （3）四边相等； （4）对角线互相平分； （5）对角线互相垂直； （6）角被对角线平分； （7）对角线相等； （8）面积 6．在仿射对应下，哪些量不变？（ C，D ） A．长度 B．角度 C．单比 D．交比
四、计算与证明题。
1．求出将点(3,1)变成点(?1,3)的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线
y2?x?8y?18?0上。
（解法同试题3）
2． 试确定仿射变换，使y轴、x轴的象分别为直线x?y?1?0和x?y?1?0，且点(1,1) 的象为原点。
解：所求变换的公式为
??x??1x'??1y'??1 其中 1??2?y??2x'??2y'??2则x?0变成直线?1x'??1y'??1?0
?1?0 ?2但由题设x?0变成x'?y'?1?0可知，?1x'??1y'??1?0与x'?y'?1?0表示同一直线。 所以
?1111因此 hx?x'?y'?1
??1??1?1 h同理 ky?x'?y'?1
此处h,k是参数。
又因为点（1，1）的象为原点，于是h?1,k??1，所以，所求变换的逆式为
?x?x'?y'?1 ?y??(x'?y'?1)?由此得出所求的仿射变换为
xy?x'????22 ?xy?y'???1??22
3．求出将点(2,3)变成点(0,?1)的平移变换，在这个平移变换下，抛物线y2?x?8y?18?0变成什么曲线？
解：设所求的平移变换为
?x'?x?a ?y'?y?b?将已知对应点的坐标代入上式得
?0?2?a ??1?3?b?于是 a??2, b??4
所以所求的平移变换为 ??x'?x?2?x?x'?2 即 ?
y'?y?4y?y'?4??将此变换用于所给的抛物线上
(y'?4)2?(x'?2)?8(y'?4)?18?0
即y'2?x'?0
略
二
一、填空题。
1．设共线三点A?0,2?,B(2,0),C(1,1)，则(ACB)? 2
2．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ 共线或平行 ），夹角为（ 0或? ）。 3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ 共面 ），空间中的四个向量一定（ 线性相关 ）
4．设a与b是两个非零向量，若a与b线性相关，则a?b??0?。
5．已知向量a??x1,x2,x3?,b??y1,y2,y3?，则a与b之间的内积a?b??x1y1?x2y2?x3y3?。 二、选择题。
1．下列性质或量中哪些是仿射的( 1，3，4，8 ) （1）线段的中点； （2）角的平分线； （3）交比； （4）点偶的调和共轭性 （5）角度 （6）三角形的面积 （7）两相交线段的比 （8）两平行线段的比 （9）对称轴 （10）对称中心
2．设a与b是两个非零向量，若a?b?0，则（ B ）。
?A?a与b平行 ?B?a与b垂直
?C?a与b线性相关 ?D?a与b的夹角为?
3．设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ）。
?A?a?b?ab ?B?a?b?ab
?C?a?b?ab ?D?a?b?ab
4．下列说法错误的是（ B，C ）
A．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线； B．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直 C．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行 D．平面上的三个向量一定线性相关
5．设a与b是两个非零向量，若a?b?0，则（A，C ）
?A?a与b平行 ?B?a与b交角为锐角。 ?C?a与b线性相关 ?D?a与b的夹角为?2
三、计算与证明题。 1．设平面上的点变换??2y?31和?2分别由
??x??x1:??y??2x?5y和?2:??x??x?y?1?y??x?2表
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