2021年中考数学热点专题复习：几何证明中两种不易发现的错误
几何证明是非常严谨的，初学几何的人，经常会犯一些逻辑错误，特别是以下两种情形，错了还很难被发现：一种是循环论证；另一种是忽视问题的极端情况．
一、循环论证的错误
所谓循环论证，就是利用某一结论证明同一结论．循环论证隐藏在一些“美妙”的证明之中，请看下面两例：
例1 直线AB，CD相交于点O．
(1)OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，画出这个图形； (2)射线OE，OF在同一直线上吗？
(3)画∠AOD的平分线OG，OE与OC有什么位置关系？
(3)OE⊥OG．
剖析 第(2)小题中，∠COE＝∠DOF(对顶角相等)，两个角成对顶角的前提是两直线相交，而本题的结论正是证明射线OE，OF在同一直线上，可见，这是典型的循环论证．
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例2 如图2，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E．F是OC上的另一点，连结DF，EF．求证：DF＝EF．
剖析 这个证法看似清晰、流畅，其实不然．角平分线的性质是由两个三角形全等证明出来的，现在又反过来利用OD＝OE证明Rt△ODP≌Rt△OEP，这也是循环论，因此，这个证明是错误的．
二、忽视问题极端情况的错误
几何证明中，有时利用问题的极端情况，可以帮助我们获得正确的解题思路，这种方法被称为极端法．但在解题过程中，有时会因忽视问题的极端情况，而使完美的解答出现不应有的瑕疵．请看下面一道中考题及命题者给出的参考解答：
例3 如图3，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，
BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
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因此，矩形PNDM的面积为S为x的二次函数，其图象开口向下，对称轴为x＝5． 当2≤x≤4时，矩形PNDM的面积S随x的增大而增大，∴当x＝4时，矩形PNDM的面积S有最大值，此时， S＝－0.5×42＋5×4＝12．
剖析 解答此题用到了矩形的性质、三角形相似、二次函数的性质等多方面知识，各方面知识结合在一起，给人以和谐美的享受．
然而，仔细分析这一解法，有一瑕疵令人遗憾．事实E，当x＝4时，Rt△BGP是不存在的，也就没有Rt△BGP∽Rt△BFA，因此，基于相似后面的解答就没有意义了． 虽然，经过验证，最后答案是正确的，但对于x＝4时的极端情况，应该给予特别说明，数学解题应力求严密，不能有半点的似是而非． 下面提供一种基于对函数深入理解的解法：
正解 如图4，以DC、DE所在直线为坐标轴，建立坐标系，则A(2，4)、B(4，1)．设P（x，y），矩形PNDM的面积为S． 于是，y＝－0.5x＋5， 而DN＝x，PN＝y，
因此，S＝xy＝－0.5x2＋5x(2≤x≤4)． 其函数图象开口向下，对称轴为x＝5．
当2≤x≤4时，矩形PNDM的面积S随x的增大而增大． ∴当x＝4时，矩形PNDM的面积S有最大值，此时，
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S＝－0.5×42＋5×4＝12．
所以，当x＝4时，矩形PNDM有最大面积12．
数学是严谨的，几何证明更因其严密的逻辑性展现出无穷的魅力和无限的价值，在数学学习的过程中，只有脚踏实地，准确把握知识的本质，才能避免错误的发生．
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