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第十五章 机械振动
一 选择题
1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C。
2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；
D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A中小球没有受到回复力的作用。 答案选A。
3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ）
A.
gllg B. C. D.
glgl解 由kl=mg可得k=mg/l，系统作简谐振动时振动的固有角频率为??k?mg。 l 故本题答案为B。
4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t=0，则振动初相?为（ ）
A. ?ππ B. 0 C. 22D. π
解 由x?Acos(? t??) 可得振动速度为v?dx???Asin(? t??) 。速度正最大时dtπ有cos(? t??)?0，sin(? t??)??1，若t=0，则??? 。
2故本题答案为A。
5. 如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为
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( ) A. ??2πk1k2 mk?k2B. ??2π1
mC. ??D. ??12πk1?k2
mk1.k2k1
k2
m
选择题5图
12πk1.k2
m(k1?k2)解：设当m离开平衡位置的位移为x，时，劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧的伸长量分别为x1和x2，显然有关系
x1?x2?x
此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有
k1x1?k2x2
md2xdt2??k1x1
由前面二式解出x1?k2x，将x1代入第三式，得到
k1?k2k1k2x
k1?k2dt2k1.k2将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令?2?，即得振动频率
m(k1?k2)m??d2x??12πk1.k2。
m(k1?k2)所以答案选D。
6. 如题图所示，质量为m的物体由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( )
k1
m
选择题6图
k2
A. v?2πC. v?12πk1k21 B. v?m2πk1?k21 D. v?mk1.k22πk1?k2mk1.k2m(k1?k2)
解：设质点离开平衡位置的位移是x，假设x>0，则第一个弹簧被拉长x，而第二个弹簧被压缩x，作用在质点上的回复力为 -( k1x+ k2x)。因此简谐振动的动力学方程
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. md2xdt2??(k1?k2)x
k1?k21k1?k2，即v?
2πmm所以答案选B 。
7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( )
令?2?A. kA B. (1/2 )kA C. (1/4)kA D. 0
解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D。 8. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为 ( ) A. 2E B. 4E C. E D. 16E
2
2
2
12kA，所以答案选B。 29. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为 解：因为E?x1?5cos(10t?0.75π)cm；x2?6cos(10t?0.25π)cm
则合振动的振幅为 ( )
A. 61cm B. 11cm C. 11cm D. 61cm
2解 A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
?52?62?2?5?6?cos(0.25π?0.75π)?61
所以答案选A。
10. 一振子的两个分振动方程为x1 = 4 cos 3 t ，x2 = 2 cos (3 t +π) ，则其合振动方程应为：（ ）
A. x = 4 cos (3 t +π) B. x = 4 cos (3 t -π) C. x = 2 cos (3 t -π) D. x = 2 cos 3 t
解：x =x 1+ x 2= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +π)= 4 cos 3 t - 2 cos 3 t = 2 cos 3 t
所以答案选D。
11. 为测定某音叉C的频率，可选定两个频率已知的音叉 A和B；先使频率为800Hz的音叉A和音叉C同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz音叉B和C同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C的频率应为： （ ）
A. 800 H z B. 799 H z C. 798 H z D. 797 H z 解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A和音叉C同时振动时，
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拍的频率是
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2 H z，音叉B和音叉C同时振动时，拍的频率是1H z，显然音叉C的频率应为798 H z。
所以答案选C。
二 填空题
2
1. 一质量为m的质点在力F = -πx作用下沿x轴运动，其运动的周期为 。
π解：T?2mm?2π2?2m。 kπ2. 如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为-ωA、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的 点，振子处在位移的绝
2
对值为A、速度为零、加速度为 -ωA和弹性力为 -kA的状态，则对于曲线上的 点。
解：b ； a、e 。
xx(m)aeAO0.04tb1cdO12t(s)?A?0.04填空题3图
填空题2图
3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为 x =_ m。
π解：0.04cos(πt?)。
24. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5πt / 3 -π/ 2 ) m。 (1) 此简谐振动的周期T = 。
(2) 当t = 0.6 s时，物体的速度v = 。 解：（1）由5π/ 3 =2π/ T，得到T= 1.2s；（2）v= -0.04′ 5π/3′sin (5πt / 3
–1
-π/ 2 )，当t = 0.6 s时，v = -0.209 m . s 。
5. 一质点沿x轴做简谐振动，振动中心点为x轴的原点。已知周期为T，振幅为A， (1)若t =0时刻质点过x=0处且向x轴正方向运动，则振动方程为_______；(2)若t =0时质点位于x=A/2处且向x轴负方向运动，则振动方程为_______。
解：（1）x?Acos(2?ttπ（2） Acos(2??/2)；π?)
T3T6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m，旋转角速
度ω= 4πrad/s，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x = 。
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15机械振动习题解答
