华东师范大学 数学分析第8章习题答案

第八章

一：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相比照: (1)

?f'(x)dx?f(x)?c; (2) ?df(x)?f(x)?c; ??f(x)d(x)?f(x)dx;

(3) [f(x)dx]'?f(x); (4) d解: (1)

c'?0?(f(x)?c)'?f'(x)?c?f'(x) ??f'(x)dx?f(x)?c与(3)相比(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差一个常数但仍为原不定积分,该常数用c表示,称为积分常数.

(2)

df(x)?f'(x)dx?df(x)??f'(x)dx?f(x)?c

与(4)相比: (2)是先求导再积分,因此包含了一个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.

2. 求一曲线y=f (x),使得在曲线上的每一点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:

dy?2xdxy??dy??2xdx?x2?c2

将(x,y)=(2,5)代入得: 5=2+c

C=1

该曲线为y?x?1

2x2sgnx是|x|在(??,??)上的一个原函数. 3. 验证y?2解:

x2x>0时,y’=()'?x?|x|

2x2x<0时,y'?(?)'??x?|x|

2x2x2sgnx?022?limx?0 x=0时,y'??lim?limx?0?x?0?xx?0?2x?0x2sgnx?0x2 y'2?lim?lim(?)?0?|x| ?x?0?x?0x?02因此y'?y'??y'??0?|x|

x2综上得y'?(sgnx)'?|x|,?x?(??,??)

2x2y?sgnx是|x|在(??,??)上的一个原函数.

24. 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?

解: 设x0是f (x)的第一类间断点,且f (x)在U(x0)上有原函数F (x),则

F'(x)?f(x),x?U(x0).从而由导数极限定理得

f(x)?limF'(x)?F'?(x0)?f(x0) lim??x?x0x?x0f(x)?F'(x0)?f(x0).可见f(x)x0点连续,推出矛盾. 同理 lim?x?x0

二: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应用换元积分法求下列积分 (1) (3) (5)

?cos(3x?4)dx; (2)

13?x211?3x22xxe?dx;

2dxn(1?x)dx; ; (4) ??2x?1?(??)dx; (6) ?22x?3dx;

(7)

8?3xdx; (8)

?dx

37?5x(9)

xsin2(2x?)4dxdx(11) ?; (12) ?;

1?cosx1?sinx(13)

2?xsinxdx; (10) ?dx;

?cscxdx; (14)

x?4?x4dx; (16)

?x1?x2dx;

(15)

dx?xlnx;

x4(17) ?dx; (18) 53(1?x)(19)

x3?x8?2dx;

dx?x(1?x); (20) ?cotxdx;

5cos?xdx; (22)

(21) (23)

dx?ex?e?xdx?sinxcosx;

2x?3dx; ; (24) ?2x?3x?8x2?2(25) ?dx; (26) 5(x?1)dx(a?0); (28) (27) ?2(x?a2)3/2(29)

?dxx?a22(a>0);

?x51?x2dx;

?1?x3xdx (30)?t?3x?4x?1?1dx.

x?1?1解: (1)

?cos(3x?4)dx?tcosd ?3 ?2x2t?2x211sint?c?sin(3x?4)?c 331t1t(2) ?xedx??()2e'd()2

221t1t1t1t22()d()??etdt ??()e222241t12e?c?e2x?c 44dxt?2x?11t11??d?ln|t|?c?ln|2x?1|?c (3)?2x?1t222 ?