第5章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性，同时介绍同名端的概念及使用方法，重点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法，最后介绍空心变压器及理想变压器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。
§5.1 互感
当一个线圈通过电流时，在线圈的周围建立磁场，如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通，与其它线圈交链的部分称为互感磁通。
5.1.1互感及互感电压
如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I和线圈Ⅱ，线圈I的匝数为N1，线圈Ⅱ的匝数为N2。设电流i1自线圈I的“1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图5-1所示，由i1产生磁通?11全部交链线圈I的N1匝线圈，而其中一部分?21，不仅交链线圈I而且交链线圈Ⅱ的N2匝线圈，我们定义?11是线圈I的自感磁通，?21是线圈I对线圈Ⅱ的互感磁通。这里的线圈I通过电流i1产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈Ⅱ中通入电流i2，由电流i2也会产生线圈Ⅱ的自感磁通?22和线圈Ⅱ对线圈I的互感磁通?12。
说明：磁通（链）下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号，第二个数字表示产生该磁通（链）的施感电流的编号，接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。
当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。
设通过线圈I的总磁通为?1，则有
?1??11??12 (5-1)
其中自感磁通?11与N1匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链?11为
?11?N1?11?L1i1 (5-2)
式(5-2)中，L1称为线圈I的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨（H）。
1
?21+ -u11Ⅰu21+ -Ⅱ
图 5-1 互感和互感电压
当感应电压与施感电流取关联参考方向时，自感电压与施感电流的关系式为
u11?d?11dL1i1di??L11 (5-3) dtdtdt设由i2产生的磁通中部分磁通?12与线圈I的N1匝交链，则有互感磁通链
?12?N1?12?M12i2 (5-4)
式(5-4)中，M12称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感，单位为亨利简称亨（H）。 当载流线圈的施感电流随着时间变化时，其产生的互感磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在与其具有磁耦合的线圈内产生感应电压，称为互感电压。
当互感电压的参考方向与互感磁通满足右手螺旋关系时，则有
u12?d?12dM12i2di??M122 (5-5) dtdtdt?11?21?22把具有磁耦合的一对线圈理想化，即忽略线圈的电阻和匝间电容，称为耦合电感。
?11?21?22?12i1?12i1i211?i211?22?
图5-2 耦合电感
22?
(a) (b)
同理，设电流i2自线圈Ⅱ的“2”端流入，如图5-2（a）所示，设通过线圈Ⅱ的总磁通为?2，有
?2??22??12
其中自感磁通?22与N2交链，则有自感磁通链
?22?N2?22?L2i2 (5-6)
式中L2为线圈Ⅱ的自感系数，单位H (亨利)。
设i1所产生的磁通中有部分?21与线圈Ⅱ的N2匝线圈交链，则互感磁通链
?21?N2?21?M21i1 (5-7)
2
式(5-7)中M21为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，可以证明M21?M12?M。
在图5-2（a）中自感磁通与互感磁通具有相同的方向，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之和
?1??11??12?N1(?11??12)?L1i1?Mi2 (5-8)
?2??22??21?N2(?22??21)?L2i2?Mi1 (5-9)
当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有
u1?d?1didi?L11?M2?u11?u12 (5-10) dtdtdtu2?d?2didi?L22?M1?u22?u21 (5-11) dtdtdt其中u11、u22表示自感电压，u12、u21表示互感电压，可见端口1?1?处的电压u1和端口2?2?处的电压u2是自感电压与互感电压之和，
在不改变绕线方向的前提下，将电流i2自线圈Ⅱ的“2?”端流入，如图5-2（b）所示。 根据右手螺旋定则可以判定自感磁通与互感磁通方向相反，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之差：
?1??11??12?N1(?1??12)?L1i1?Mi2
?2??22??21?N2(?2??21)?L2i2?Mi1
当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有：
u1?d?1didi?L11?M2?u11?u12 (5-12) dtdtdtd?2didi?L22?M1?u22?u21 (5-13) dtdtdtu2?其中u11、u22表示自感电压，u12、u21表示互感电压，可见端口1?1?处的电压u1和端口2?2?处的电压u2是自感电压与互感电压之差，
通过上述分析可知，在磁耦合中互感的作用有两种，一种是互感磁通链与自感磁通链方向一致，同极性迭加使磁场得到了加强，称为同向耦合。一种是互感磁通链总是与自感磁通链方向相反，使得反极性迭加磁场削弱，此时称为反向耦合。互感磁通与自感磁通的方向相同还是相反，不仅与线圈的绕行方向有关，而且与施感电流的方向有关。
3
5.1.2 同名端
当施感线圈中的电流参考方向与自感电压取关联参考方向时，自感电压前的符号为正，
di前取正，当施感线圈中的电流参考方向与自感电压取非关联参考方向时，自感电压dtdi前的符号取负，互感电压M前的符号也可为正或为负，而互感电压前的正负符号是要由
dt即L两线圈的绕向以及施感电流的参考方向和受感线圈电压的参考方向来决定。
工程实际中，一般线圈都是要包上绝缘层密封起来的，因此绕组的实际绕向是不易看出的，并且在电路图中画出线圈的绕向是很不方便的。为了在电路中分析避免显示线圈的绕向，习惯上通过标记同名端来判断互感电压前的正负号。
所谓同名端就是在两个线圈上事先标上记号“﹒”，标有“﹒”的两个端钮称为同名端，不标“﹒”的两个端钮也是同名端，如图5-3所示，电流i1和i2分别从同名端的端子流入时，则两个线圈中的自感磁通与互感磁通是增强的，互感电压前的符号为“+”，当电流i1和i2分别自异名端流入时，则两个线圈中的自感磁通与互感磁通是削弱的，互感电压前的符号为“-”。
1i1L1Mi2L2+2++1i1Mi22+u11?u22?u11?u22?
(a) (b) 图5-3耦合电感的符号和同名端
在施感电流与自感电压取关联参考方向下，有
d?1didi?L11?M2dtdtdt (5-14)
d?2di2di1u2??L2?Mdtdtdtu1?式（5-14）即为耦合电感的伏安特性。在图5-3（a）电路中M取“+”号，在图（b）中M取“-”号。
在工程上，有时耦合线圈被封闭，同名端不确定，可以用以下试验测定同名端，如图5-4所示。当k闭合时，电压表正向偏转时，表明“1”与“2”为同名端，这是因为当电流i1自线圈I的“1”流入时，电压表正向偏转说明在线圈Ⅱ感应的互感电压的高电位端在“2”
端。
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i11E2k+?1???2?V
图5-4 同名端测试
上述实验同时也表明，电流自一个线圈的同名端流入，则在另一个线圈感应的互感电压的“+”极在同名端（即互感电压的高电位在同名端）。
例5-1 电路如图5-5所示，试分析当开关k打开瞬间，端钮2、2′的极性。
kEi1L1L22ui22?+
图5-5 例5-1图
分析：取端口2??2处电压u与电流i2为关联参考方向，因此有
u?0?M开关打开瞬间有
di1 dtdi1?0，所以u?0，得到正极实际在2端。 dt例5-2 耦合电感如图5-6所示，试列写端口电压表达式。
+i1i2i1i2+u1u2+u1
+u2
(a) (b)
图 5-6 例题5-2图
di1dididi?M2 , ?u2?L22?M1 dtdtdtdtdidididi对于(b)图有：?u1?L11?M2 , u2?L22?M1
dtdtdtdt对于(a)图有：u1?L1说明：(1)第一项为自感电压，在电压和电流取关联参考方向时，为正，反之为负。 (2)第二项为由一个线圈的电流在另一个线圈中感应的互感电压，当电流从同名端流入时取“+”，即自感电压与互感电压的极性相同，电流从异名端流入时取“-”即自感电压与互感电压的极性相反。
工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通的比值的几何平均值定义为耦合系数，用小写字母k表示：
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含有耦合电感的电路
