故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4
，BE＝5
，
，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE
．
【知识点】正方形的性质； 全等三角形的判定和性质；垂直的定义；勾股定理；新定义
10. （2024贵州黔东南，25，12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝ ， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为 ；
4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，
（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
【思路分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可． （2）根据不等式解决问题即可． （3）构建方程即可解决问题． （4）把问题转化为不等式组解决即可．
【解题过程】解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}
，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}；
故答案为：，．
（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5， ∴
，
解得﹣2≤x≤4， 故答案为﹣2≤x≤4． （3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2， ∴
2，
解得x＝﹣1或3．
（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}， 又∵
x+1，
∴，
解得1≤x≤1， ∴x＝1．
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；算术平均数
11. （2024江苏南京，27，11分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式
行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，（O，dB）＝3，则点B的坐标是 ． （2）函数y
（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【思路分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）由条件知x＞0，根据题意得点C，使d（O，C）＝3．
（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可． 【解题过程】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3，
，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在
∴，
解得：，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数
的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
根据题意，得∵x＞0， ∴
，
，
，
∴，
∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
，
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，
l2与x轴相交于点G．∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．
【知识点】新定义；二次函数图象及其性质；解方程（组）
12. （2024江苏扬州，26，10分）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T(AB,AD)或T(AB,l2)，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C． 请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角?ABC中，AB?5，T(AC,AB)?3，则T(BC,AB)? ；
（2）如图2，在Rt?ABC中，?ACB?90?，T(AC,AB)?4，T(BC,AB)??9，求?ABC的面积；
（3）如图3，在钝角?ABC中，?A?60?，点D在AB边上，?ACD?90?，T(AD,AC)?2，T(BC,AB)?6，求T(BC,CD)，
2024年中考数学试题分类汇编40： 新定义型
