一、选择题
1. （2024湖南省岳阳市，8，3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜－3 B．c＜－2 C．c?1 D．c＜1 4【答案】B
【思路分析】根据不动点定义，得出x1，x2满足的一元二次方程，利用根与系数的关系及根的判别式列出不等式求解即可.
【解题过程】当y=x时，x=x2+2x+c，即为x2+x+c=0，由题意可知：x1、x2是该方程的两个实数根，所以：
?x1?x2??1 ?x?x?c?12∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0 即x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0 ∴c－(－1) ＋1＜0 ∴c＜－2
又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0 即12－4c＞0， 解得：c＜
1 4∴c的取值范围为c＜－2
【知识点】二次函数与一元二次方程，根与系数的关系
2. （2024山东省济宁市，10，3分）已知有理数a≠1，我们把11称为a的差倒数，如：2的差倒数是1?a1?2＝?1，－1的差倒数是11?．如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差1?(?1)2倒数，…，依此类推，那么a1＋ a2＋…＋ a100的值是（ ） A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5 【答案】A
1131＝；a3＝＝，……找出循环规律即可． 121?(?2)31?31113111【解题过程】由题意知：a2＝＝；a3＝＝，a4＝＝－2；a5＝＝……可1231?(?2)31?(?2)31?1?32【思路分析】根据所给方法进行计算，a2＝知经过3次开始循环，所以a1＋ a2＋…＋ a100＝－2＋＋－7.5．
【知识点】探索规律 二、填空题
133131－2＋＋＋…－2＝??33?2＝23261. （2024山东德州，16，4分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]?4，[?0.8]??1．现定义：{x}?x?[x]，例：{1.5}?1.5?[1.5]?0.5，则{3.9}?{?1.8}?{1}? ． 【答案】0.7
【解析】解；{3.9}?{?1.8}?{1}?3.9?3?1.8?2?1?1?0.7，故答案为0.7． 【知识点】新定义 三、解答题
1. （2024重庆A卷，22，10）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特
征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯
数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23
＋24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2024和2024是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【思路分析】（1）按“纯数”的定义，看2024＋2024＋2024及2024＋2024＋2024在计算时，是否各数位都不产生进位，即可做出判断；（2）寻找“纯数”的构成规律：连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．然后按一位、两位数及三位数（100）分三种情况讨论，即可锁定答案． 【解题过程】（1）2024不是“纯数”，2024是“纯数”，理由如下：
∵在计算2024＋2024＋2024时，个位产生了进位，而计算2024＋2024＋2024时，各数位都不产生进位， ∴2024不是“纯数”，2024是“纯数”．
（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位
为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：
①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．
综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．
【知识点】阅读理解题；新定义问题；分类思想；纯数．
2. （2024重庆市B卷，22，10）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、 奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”. 定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n??n?1???n?2?的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.
例如：32是“纯数”，因为32?33?34在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为23?24?25在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴ 请直接写出1949到2024之间的“纯数”；
⑵ 求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由。
【思路分析】解决此题首先要准确理解新的定义，然后根据新定义中“不产生进位”合理分析出各个数位上的值，列举即可．此题主要考察新定义的理解与分析，新定义中的“不产生进位”是分析的关键，即和不能
大于10，在列举时要注意“不重不漏”． 【解题过程】解：（1）1949到2024之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100
若n为一位数，则有n+（n+1）+（n+2）＜10，解得：n＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．
两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个 【知识点】规律型：数字的变化类．不等式、分类讨论.
3. （2024浙江省衢州市，23，10分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），
若点T（x，y）满是x=
b?da?c，y=，那么称点T是点A，B的融合点。
33?1?48?(?2)=1，y==2时.则点T（1，2）是点33例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=
A，B的融合点。
（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点。 （2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点。
y1lx1O①试确定y与x的关系式。
D
②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标。 【思路分析】（1）根据融合点的概念通过计算进行判断； （2）①根据融合点的概念建立方程求解；
②分∠THD=90°，∠TDH=90°，∠HTD=90°三种情况，结合图形讨论确定点E的坐标。
【解题过程】（1）∵
?1?75?7=2，=4， 33∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分 （2）①由融合点定义知x=
3?t，得t=3x-3....4分 3又∵y=
0?(2t?3)3y?3，得t=...….5分 323y?3，化简得y=2x-1.……6分 2
∴3x-3=
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.
yET1x1l由点T是点D，E的融合点，可得m=
OHD
m?3(2m?3)?0或2m-1= 3333，∴点E1（，6）.…7分 22解得m=
EyTxl（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分
（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分 （注：此类情况不写不扣分） 综上所述，符合题意的点为E1（
OHD
3，6），E2（6，15）. ……10分 2【知识点】新定义 一次函数 分类讨论
4. (2024浙江宁波,25,12分)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.
(1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;
(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;
(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,求邻余线AB的长.
第25题图
【思路分析】(1)由等腰三角形三线合一可得AD⊥BD,∴∠FAB与∠EBA互余,进而得到邻余四边形;(2)采用类似(1)问的方法,将∠A和∠B放在同一个直角三角形中,即可得到图形;(3)直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得ME＝MD,∠MDE＝∠MED,证得△DBQ∽△ECN,进而由图形中线段的等量关系,结合相似比例式,可得邻余线AB的长度. 【解题过程】(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°,∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形; (2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)
第25题答图
(3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△
QBBD3??,∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10. NCCE5【知识点】等腰三角形三线合一,直角三角形两锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等边对等角,相似三角形
5. （2024浙江省金华市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．
ECN,∴
2024年中考数学试题分类汇编40： 新定义型
