打印版
聚焦08高考——体验两个原理的应用
排列组合问题是历年高考必考的内容，更是后面概率问题的基础．而分类计数原理和分步计数原理不仅是排列组合公式推导的基础，也是解决排列组合问题的基石．但这两个原理看似简单，容易被人忽视．现借助08年各地高考题加以分析，饮水思源，基本原理往往在我们陷入困境时给予最及时有效的帮助．
一、合理分类、准确分步(基础型)
例1.（全国文，14）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）
解析：选到的3名同学中既有男同学又有女同学，则可以是一男两女或两男一女两种情况，可根据入选男生人数进行分类，而每一类选法又需分两步完成，选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有C10·C6＋C10·C6＝420种．
点评：解答此类的关键是合理分类，准确分步，在两个原理的基础上利用排列数、组合数公式迅速解题．对于出现“至多、至少”的题型，若正面情况较多，可先求出其反面，间接求解，更为简单．
二、“步、类”清晰（抓关键）
例2.（天津文16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．
解析：注意到1＋2＋3＋4＝1＋1＋4＋4＝2＋2＋3＋3＝10．据此进行分类：
第一类：所取的4张卡片上分别标有1，2，3，4时，每张卡片均有两种取法，所以不同的排法有2×2×2×2×A4种；
第二类：所取的4张卡片上分别标有1，1，4，4时，卡片只有一种取法，所以不同的排法为A4种；
第二类：所取的4张卡片上分别标有2，2，3，3时，卡片只有一种取法，所以不同的排法为A4种．
因此，满足题意的所有不同的排法共有2×2×2×2×A4＋A4＋A4＝432．
点评：抓住关键，准确分类；选排问题，先选后排．
例3.（全国理，12）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
A D 解析：此类问题早在03年高考中就出现过，加上中间的环形区域，
共5个区域，用四种不同的颜色给地图着色，相邻区域不得使用同一种
C B 颜色，问共有多少种涂色方法．本题与03年高考题相比难度有适当的降低，但与03年高考题有着异曲同工之妙．要想顺利解题，必须对每个区域进行合理分析．先种A区有4种方法，再种B区有3种方法，接着种C区有3种方法，但此时D区同时与A、C相邻，其所种花种数受A、C所种的花是否相同的影响，所以解题时一定要抓住这一关键，不可胡乱下结论．通过以上分析，可知种法可分成两大类：第一类，A、C种花相同，则A区有4种方法，再种B区有3种方法，接着种C区与A区相同有1种方法，D区有3种方
打印版
4
4
4
44
4
1
2
2
1
打印版
法，共有：4×3×1×3＝36种；第二类，A、C种花不同，则A区有4种方法，再种B区有3种方法，接着种C区与A区不同有2种方法，D区有2种方法，共有：4×3×2×2＝48种；由分类计数原理，共有36＋48＝84种．选择B．
点评：本题突出体现了分类计数原理和分步计数原理在排列组合问题中的应用．高考中的很多题目都不是单纯的排列问题或组合问题，因此在解题时，一定要“步、类”清晰，合理分析，从而迅速、准确的解题．
例4.（湖北理，6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A．540 B．300 C．180 D．150
解析：解决这个问题要分两步完成：首先将5名志愿者分成三组，每组至少一人，可以是1、1、3或1、2、2，前者有
2
2
11C2· C13
C5·2种分法，后者有 A2
22C4· C21
C5·2种分法，则共有 A2
11C2· C13
C5·2
A2
C4· C213
＋ C5·2＝25种分组方法；再将这三组人安排去不同的场馆，构成一个全排列，共有A3
A2种方法．由分步计数原理，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为25×A3＝150．选择D．
点评：本题的关键在如何分组．在分步以后涉及到“部分均分分组问题”——先将不均分的那一部分直接取出，再将余下的部分平均分组．“平均分组问题”：一般来说，km个Ckm·C(k―1)m·…·Cm
不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有：种．排列、组合kAk学习中，要注意积累相近、相似的方法和题型进行类比思考，才能全面．
三、总体排除（正难则反）
例5.（天津理，10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）
(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种
解析：其实上述问题相当于从8张卡片中任取6张排成一列，仅中间两数的和为5，其他不限．和为5的数可以为1与4；2与3，直接求解种类较多．若中间两数为1、4，其它四个位置共有A6种排法，其中还有一行和为5的情况有A2·A2·A4种，所以此时共有A6―A2·A2· A4＝312种排法．同理，中间两数为4、1，2、3，3、2的排法数与此相同．由分类计数原理，符合题意的排法共有4×312＝1248种．
点评：清楚分类，正面情况较多，难以直接求解，则采用间接法，排除不合题意的，快速求解．例1的解析二即为本种解法．
四、情况复杂，逐个安排
例6.（辽宁，9）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
解析：整个安排方案可分为四大类：第一类，甲没有被选中，则第一道工序只能由乙来
打印版
4
1
2
2
4
1
2
2
m
m
m
3
打印版
负责，第四道工序只能由丙来负责，剩下的两道工序从其他三个人任选两人负责，共有A3种方法；第二类，甲被选中，并且负责第一道工序，第四道工序只能由丙来负责，剩下的两道工序从其他四个人任选两人负责，共有A4种方法；第三类，甲被选中，并且负责第二或第三道工序，则第一道工序只能由乙来负责，第四道工序只能由丙来负责，剩下的一道工序从其他三个人任选一人负责，共有A2·C3种方法；第四类，甲被选中，并且负责第四道工序，第一道工序只能由乙来负责，剩下的两道工序从其他四个人任选两人负责，共有A4种方法；由分类计数原理，不同的安排方案共有A3＋A4＋A2·C3＋A4＝36种，选择B．
点评：排列组合问题的解法多种多样，从不同的角度去看问题，就可以得到不同的启示，本题可以从特殊位置或特殊元素加以分析，但最根本的出发点仍然是两个计数原理．有序分析，准确求解．对于元素个数不多的情况，也可以采用树形图帮助分析．
小结：排列组合问题是中学数学的重要内容之一，该部分内容，不论其思考方法和解题方法都有其特殊性：概念性强、抽象性强、灵活性强、思维方法新颖，给学习带来一定的困难．而解决问题的关键就是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，抓住问题的根本．从以上几道高考题的求解过程可以发现，排列组合题目虽然形式多样，但万变不离其宗，只要抓住两个基本原理，合理分类，准确分步，注意近似题型的积累，科学周全的思考、分析问题，即可求解．
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
打印版
人教版数学备课资料聚焦08紧随高考-体验两个原理的应用.
