西 南 大 学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题 学科、专业： 研究方向： 试题名称：高等代数 试题编号：819 （答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效） 1．填空题（每小题6分，共60分） （1）设n?3，在由1，2，…，n构成的n!个n级排列中，反序数等于2的排列 共有 个。 （2）设A，B为n阶方阵。若A?2，B?3，A?1?B?6，则A?B?1= 。 （3）设f(x)?x4?x2?ax?b，g(x)?x2?x?2。若(f(x),g(x))?g(x)，则 a? ，b? 。 ?（4）设A为三阶方阵，P?(??1??200??020?1,?2,?3)为三阶可逆阵，并且PAP。?0?3? ?0??若Q?(??12,?3,?1??2)，则QAQ= 。 ?（5）设A??110??1k0?是三阶正定矩阵，则k的取值范围是 。 ?k?2??00???（6）设A??110??010?为复数域上三阶方阵，则A的最小多项式为 。 ?001???? （7）二元实二次型f(x12??x1?1,x2)??x1,x2????00????x??的秩 = 。 2（8）设n元非齐次线性方程组AX = B无解，其系数矩阵的秩为4，则其增广矩阵的秩 为 。 （9）设矩阵A?(?1,?2,?3,?4)，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3，向量 ???1??2??3??4，则非齐次线性方程组AX = ? 的通解为 。 （10）设D为一个三阶行列式，D的元素为1或?1，则D的最大值为 。 ?1012．（20分）设A????020?，且AB?E?A2?B，其中E为三阶单位矩阵，求B。 ?01??1???1?3．（20分）设A为三阶实对称矩阵，其特征值为???1?1,?2??1,?3?0，?1??2与 ?2?????2????2??1分别是A的属于特征值?1与?2的特征向量。求矩阵A。 ?2?????4．（20分）设P为数域，f(x),g(x)?P[x]，a,b,c,d?P，且ad?bc?0。证明 (af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x))?(f(x),g(x))。 ?5．（20分）设A??020111??002011?，证明X2?A无解，这里X为三阶未知复矩阵。 ???000??6．（10分）设V是数域P上n维线性空间，? 是V的一个线性变换，? 的特征多项式为f(?)。证明：f(?)在P上不可约的充分必要条件是V无关于? 的非平凡不变子空间（通常称V的子空间0和V为V的关于? 的平凡不变子空间）。
西南大学2011年《高等代数》考研真题
