B单元 函数与导数
B1 函数及其表示
6．[2014·安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，
f(x)＝0，则f?
?23π?＝( )
??6?
131A. B. C．0 D．－ 2226．A
2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝(x－1) C．y＝2 D．y＝log0.5(x＋1) 2．A
??x＋1，x>0，7．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝?则下列结论正确的是( )
??cos x， x≤0，
2
－x2
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 7．D
2．[2014·江西卷] 函数f(x)＝ln(x－x)的定义域为( ) A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 2．C
3．[2014·山东卷] 函数f(x)＝
的定义域为( ) 2
（log2x）－1
1
2
?1??1??1?A.?0，? B．(2，＋∞) C. ?0，?∪(2，＋∞) D. ?0，?∪[2，＋∞) ?2??2??2?
3．C
B2 反函数
12．[2014·全国卷] 函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f(x)的反函数是( )
A．y＝g(x) B．y＝g(－x) C．y＝－g(x) D．y＝－g(－x) 12．D
B3 函数的单调性与最值
2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝(x－1) C．y＝2 D．y＝log0.5(x＋1) 2．A
??x＋1，x>0，7． [2014·福建卷] 已知函数f(x)＝?则下列结论正确的是( )
?cos x， x≤0，?
2
2
－xA．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 7．D
21．[2014·广东卷] 设函数f(x)＝2.
(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)； (2)讨论函数f(x)在D上的单调性；
(3)若k<－6，求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示)．
12．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)
??－4x＋2，－1≤x<0，?3?＝?则f??＝________．
?2??x， 0≤x<1，?
2
，其中k<－222
（x＋2x＋k）＋2（x＋2x＋k）－3
1
12．1
15．[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－
M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)?B； ④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋
x2
x＋1
(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 15．①③④
21．[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝e－ax－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 21．解：(1)由f(x)＝e－ax－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝e－2ax－b. 所以g′(x)＝e－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
1
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
e
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
1e
当 于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b. 1 综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b； 21e 当 当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b. 2(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点， 则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2. xx2 x2 x故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点． 1 由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点； 2e 当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题 2意． 1e所以 22 此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0. 由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2， 则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0， 解得e－2 当e－2 从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0. 又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0. 故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2. 由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增． 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2) 综上可知，a的取值范围是(e－2，1)． B4 函数的奇偶性与周期性 ??x＋1，x>0， 7．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝?则下列结论正确的是( ) ?cos x， x≤0，? 2 A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 7．D 3．[2014·湖南卷] 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．C 3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 3．C 15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________． 15．(－1，3) B5 二次函数 ?ππ?16．[2014·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间?，?是减函数，则a的 ?62? 取值范围是________． 16．(－∞，2] B6 指数与指数函数 4．[2014·福建卷] 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-1
高考数学(理)真题分类汇编：B单元++函数与导数
