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2024年全国高中数学联赛湖南预赛(B)卷试题及详解
一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分）
21.设集合A?xx?3x?10?0，B?xm?1?x?2m?1，若A?B?B，则实数m????的取值范围为 ．
2.如果函数y?3cos?2x???的图像关于点??4?? ,0?中心对称,那么?的最为 ．
?3?3. 如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为 射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M， 将点M到直线OP的距离表示为x的函数f?x?，则
f?x?? ．
4. 已知二面角??l??为60，动点P，Q分别在面?，?内，P到?的距离为3，Q到?的距离为23，则P，Q两点之间距离的最小值为 ．
5. 如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．
设An是第n次挖去的小三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是第
2次挖去的三个小三角形面积之和）.则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值
为 ．
332024x?cos2024x的值为 ． 6.若3sinx?cosx?3，则sin
7.如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C滚动时的曲线为y?f?x?，则f?x?在
?2017,2024?上的表达式为 ．
8.四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 ．
9.设a?b?1，b?0，a?0，则
12a的最小值为 ． ?aba?t?ba?t?b10.设a,b?R，a?b函数g?x??maxx?t?x?R?（其中max表示对于x?R，当，则g?x?的最小值为 ． t??a,b?时表达式x?t的最大值）
三、解答题 （本大题共4小题，共80分.
11. 如图，四棱锥S?ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，
AB?AD?1，DC?SD?2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC.
（Ⅰ）证明：SE?2EB； （Ⅱ）求二面角A?DE?C的大小.
12. 棋盘上标有第0,1,2,,100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游
戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn. （1）求P3的值； （2）证明：Pn?1?Pn??（3）求P100的值. 99，P
13. （1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有
1?Pn?Pn?1??2?n?99?； 2PA2?PC2?PB2?PD2.
试证明该命题；
（2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明； （3）将矩形ABCD进一步推广到长方体ABCD?A1BC11D1，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.
214. 设曲线C:x?16y?256?16y所围成的封闭区域为D.
（1）求区域D的面积；
（2）设过点M?0,?16?的直线与曲线C交于两点P，Q，求PQ的最大值.
2024年全国高中数学联赛湖南预赛答案
一、填空题
1.m?3 2.
? 3.sinxcosx 4.23 63??3?5.?1???4???4?n? 6.1 7.???2f?x??f?x?504.4??1?2?x?2016???x?2016? 8.
2b?a 9.22?1 10. 32二、解答题
11.解：以D为坐标原点，射线DA，DC，DS分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系Dxyz，
设A??1,0,0?，则B?1,1,0?，C?0,2,0?，S?0,0,2?.
（1）证明：SC??0,2,?2?，BC???1,1,0?，设平面SBC的法向量为n??a,b,c?，由
n?SC，n?BC，
得到n?SC?0，n?BC?0，故b?c?0，?a?b?0，取a?b?c?1，则n??1,1,1?，又设
SE??EB???0?，则
?2??2?????，E?,,DE?,,???,DC??0,2,0?
1??1??1??1??1??1??????设平面CDE的法向量为m??x,y,z?，由m?DE，m?DC，得到m?DE?0，
m?DC?0，故
?x?y2z???0，令x?2，则m??2,0,???，由平面DEC?平面SBC，2y?0，1??1??1??得到m?n，
所以m?n?0，2???0，??2，故SE?2EB.
2024年全国高中数学联赛湖南预赛试题及详解
