专题讲解：处理球的“内切”“外接”问题
外接球内切球问题专题一
一、球与棱柱的组合体问题：
1正方体的内切球：
设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得R?a； 2（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R?2a。 2（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆O为
矩形AA1C1C的外接圆，易得R?A1O?
图3
图4
图5
2.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA?PB?PC?a,求这个球的表面积是______.
【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 3.已知底面边长为a正三棱柱ABC?A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心O1、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R2?3a 23a，正三棱柱的6图6
高为h?2R2?3a，由Rt?A1D1O中，得 3222?3??3??3?552222???????a2，?R?a?S:S?R:RR1??a??R2??aa 11212?5:1，????1212?3??3??6?V1:V2?55:1
二 棱锥的内切、外接球问题
4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．
?3?62222??r2，a，a在Rt?BEO中，BO?BE?EO，即R??得R??3?4??得R?3r
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为高)，且外接球的半径之间的关系。
5.正三棱锥S?ABC，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少 6. 正四棱锥S?ABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少 练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为
2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，
2，3，则此球的表面积为 。 3．设P,A,B,C是球O面上的四点,且PA,PB,PC两两互相垂直,若PA?PB?PC?a, 则球心O到截面ABC的距离是 . 4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥S?ABC中，侧棱SC?侧面SAB，侧棱SC?2，则此正三棱锥的外接球的表面积为
5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为2h ( h为正四面体的4图1
3h，从而可以通过截面图中Rt?OBE建立棱长与半径43，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此2球的体积为 ．
6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。 7.（球内接正四棱锥问题）半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ．
8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，底面边长为83，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为 ．
9. 三棱锥A?BCD的两条棱AB?CD?6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径. 说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决． 1 3?；2 14?；3
39264256a；4 12?；5 ? ；6 1:5；7 R3；8 ?;? 623981外接球内切球问题专题二
1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个
大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
33333 B． C． D． 43412答案 B
A．
2. 直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的
表面积等于 。
解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,可得?ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?为4?R?20?.
3．正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱 柱的体积为 ． 答案 8
4.表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
25，故此球的表面积A．22212? B．? C．? D．? 3333答案 A
3a2?23知， 【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8?4a?1，则此球的直径为2，故选A。
325.已知正方体外接球的体积是?，那么正方体的棱长等于（ ）
3A.22 B.
234243 C. D. 333
内切球、外接球问题--原创(2)
