2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
的
（1） 当 x ? 0 时，若 x ? tan x 与 x是同阶无穷小，则 k =（
k
）
(A) 1 (B) 2
（2） 设函数 f (x) ??? x x ,
x ? 0
(C) 3 (D) 4
）
，则 x ? 0 是 f (x) 的（
?
?x ?ln x, x ? 0
(B) 不可导点，极值点 (D)
不可导点，非极值点
）
(A)可导点，极值点 (C)可导点，非极值点
（3） 设
?un ?是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（
1
(B) ?(?1) u
??n?1
n 2
un
(A) ??n?1 n
? ?
un
(D)
?
2 n?1
(C) (1??u )
n?1 n?1
??(un?1
? un )
（4） 设函数Q(x, y) ??
x y
2
. 如果对上半平面( y ? 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有
?
C
P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?0, 那么函数 P(x, y) 可取为（
1 x2
(B) ?
y y3
1
(C) ?
1
1
）
x2
(A) y ? 3
y
x y
(D) x ?
y
2
（5） 设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A
? A ? 2E, 且 A ? 4，则二次型xT Ax 的规范为
（ ） (A) y? y? y
1
2
2
2
2 3 2
(B) y? y? y
1
2 2
2
2 2 2
3 2 3
(C) y? y? y
1
2
2 2
3
(D) ? y? y? y
1
2
（6） 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ai1 x ? ai 2 y ? ai3 z ? di
?i ? 1,2,3?组成的
线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A, 则（
）
(A) r( A) ? 2, r( A) ? 3 (B) r( A) ? 2, r( A) ? 2
(C) r( A) ? 1, r( A) ? 2
(D) r( A) ? 1, r( A) ? 1
）
（7） 设A, B为随机事件，则P( A) ? P(B)的充分必要条件是（
(A) P( A ? B) ? P( A) ? P(B)
(B) P( AB) ? P( A)P(B)
(C) P( AB) ? P(BA) (D) P( AB) ? P( AB)
2
（8） 设随机变量X与Y相互独立，且都服从于正态分布N (?,?)，则PX ? Y ? 1（
??）
无关，而与?有关 (A) 与?
2
有关，而与?无关 (B) 与?，?都无关 (D) 与?22
，?都有关 (C) 与?
2二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
1 ? ?z ??1 ? ?z ? （9） 设函数f (u)可导，z ??f ?sin y ? sin x?? xy,则 cos x ?x cos y ?y
.
（10） 微分方程2 yy? ? y? 2 ? 0满足条件y?0? ? 1的特解y ???. 2
(?1)n n （11） 幂级数? x 在(0,??)内的和函数s(x) ???. (2n)!n?0
?
（12） 设?为曲面x? y? 4z ? 4(z ? 0)的上侧，则
2 2 2
?????
4 ? x2 ? 4z 2 dxdy ???. （13） 设A ? ?a1, a2 , a3 ?为3阶矩阵，若a1, a2线性无关，且a3 ? ?a1 ? 2a2 ,则线性方程组Ax ? 0 的
通解为 .
x ?? , 0 ? x ? 2
（14） 设随机变量X的概率密度为f (x) ? ? 2 ，F (x)为X的分布函数，EX为X
?其他 ?0,
的数学期望，则P?F ( X ) ? EX ?1????.
三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分 10 分）
?? 0的特解. 设函数y?x?是微分方程y? ? xy ? e 满足条件y ?0 ?
? x2 2
（1） 求 y
?x?;
?x?的凹凸区间及拐点.
（2） 求曲线 y ? y
（16）（本题满分 10 分）
设 a, b 为实数，函数 z ? 2 ? ax? by 在点(3，4) 处的方向导数中，沿方向l ? ?3i ? 4 j 的方向导数最大，最大值为 10.
（1） 求 a, b ；
2
2
（2） 求曲面 z ? 2 ? ax
2
? by 2 ?z ? 0?的面积.
（17）（本题满分 10 分）
求曲线 y ? esin x?x ? 0?与x 轴之间图形的面积.
? x
（18）（本题满分 10 分）
x设an ????0
1 n
1? x2 dx(n ? 0,1,2,?)
n ?1
a (n ? 2,3,?) （1） 证明：数列?an ?单调减少，且an ?
n ? 2 n?2
a
（2） 求lim n . n?? a
n?1
（19）（本题满分 10 分）
设?是由锥面在x2 ? ( y ? z)2 ? (1? z)2 (0 ? z ? 1)与平面z ? 0围成的锥体，求?的形心坐标.
（20）（本题满分 11 分）
T T 3T T
设向量组x1 ? (1,2,1)T x 2 ? (1,3,2)x 3 ? (1, a,3)为R的一个基，?? (1,1,1)在基下的坐标(b, c,1).
(1) 求a, b, c ；
(2) 证明a , a ,?为R的一个基.并求a , a ,?到a , a , a 的过渡矩阵.
2
3
2
3
1
2
3
3
（21）（本题满分 11 分）
?? 2 ? 2 1 ??? 2 1 0 ??? ??? ??
已知矩阵A ? ? 2 x ? 2?与B ? ? 0 ?1 0 ?相似.
??0 0 ? 2? ? 0 0 y ??? ??? ??
(1) 求x、y ;
?
(2) 求可逆矩阵P，使得PAP ? B.
?1
（22）（本题满分 11 分）
设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , X 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布 . Y 的 概 率 分 布 为
P?Y ? ?1?? p, P?Y ? 1?? 1? p(0 ? p ? 1), 令Z ? XY
（1） 求Z的概率密度；
（2） p为何值时，X与Y不相关；
（3） X与Z是否相互独立.
（23）（本题满分 11 分）
2
? A ? ( x??)
2? ? e, x ? ?. 设总体X的概率密度为f (x;?2 ) ? ?? ??x ? ?. ?0,
2
其中?是已知参数，?? 0 是未知参数， A 是常数， X1 , X 2 ,?, Xn 是来自总体 X 的简单随机样本.
(1) 求A
(2) 求?的最大似然估计量.
2
2020考研数学一真题参考2019年
