第3讲 二项式定理
【2024年高考会这样考】
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】
二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．
基础梳理
1．二项式定理 (a＋b)＝Cna＋Cnan0n1
n－1
n－rrn*
b＋…＋Crb＋…＋Cnnanb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定
n理，右边的多项式叫(a＋b)的二项展开式． 其中的系数Cn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数． 式中的Cnarn－rrn－rrb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nar2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn. 3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Cn＝Cn. (2)增减性与最大值： 二项式系数Cn，当k＜的；
当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；
2当n是奇数时，中间两项C
00
1
n－1nrn－rkn＋1
2
时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小
nn－1
2
1
n，C
n＋1
2
nr取得最大值．
nn(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝2； Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2
0
2
4
1
3
5
2
n－1
.
一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Cnarn－rrb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到
它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负． 一个定理
二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性； (2)增减性；
(3)各项二项式系数的和；
以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．
双基自测
1．(2024·福建)(1＋2x)的展开式中，x的系数等于( )． A．80 B．40 C．20 D．10 解析 Tr＋1＝C5(2x)＝2C5x， 当r＝2时，T3＝40x. 答案 B
2．若(1＋2)＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝( )． A．45 B．55 C．70 D．80
解析 (1＋2)＝1＋52＋10(2)＋10(2)＋5(2)＋(2)＝41＋292 由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70. 答案 C
3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x，则a0＋a2＋a4的值为( )．
A．9 B．8 C．7 D．6 解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8.
4
2
3
4
5
2
3
4
5
5
2
5
2
rrrrrr答案 B
4．(2024·重庆)(1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x与x的系数相等，则n＝( )． A．6 B．7 C．8 D．9 解析 Tr＋1＝Cn(3x)＝3Cnx 由已知条件3Cn＝3Cn 即Cn＝3Cn
5
6
55
66
n56
rrrrrn！n！
＝3
5！n－5！6！n－6！
整理得n＝7 答案 B
5．(2024·安徽)设(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a21x，则a10＋a11＝________. 解析 Tr＋1＝C21xr21－r21
2
21
(－1)＝(－1)C21x10
11
rrr21－r
11
10
由题意知a10，a11分别是含x和x项的系数，所以a10＝－C21，a11＝C21， ∴a10＋a11＝C21－C21＝0. 答案 0
10
11
考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数
?33?
n【例1】?已知在?x－?的展开式中，第6项为常数项．
?3?
x??
(1)求n；
(2)求含x的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键． 解 通项公式为Tr＋1＝Cnx(1)∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有(2)令
2
2
rn－rrrrrn－2r(－3)x－＝(－3)Cnx. 333
n－2r3
＝0，解得n＝10.
n－2r31
＝2，得r＝(n－6)＝2，
2
2
2
∴x的项的系数为C10(－3)＝405.
【创新方案】2024年高考数学一轮复习 第十一篇 计数原理 第3讲 二项式定理教案 理 新人教版
