精品文档666
函数与导数
15 导数及其应用 高考中常考题型综合解析
【考点讲解】
一、具体目标：
1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
y?x，2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y?c，y?x，y?
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的导数； x
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 3.导数在研究函数中的应用：
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。 考点透析：
1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
y?x，2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y?c，y?x，y?
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的导数； x
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
3.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
4.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现； 5.适度关注生活中的优化问题. 6.备考重点：
精品文档666 (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
二、知识概述：一） 1．由f'(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平
?x均变化率的极限.
2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1）基本初等函数的导数公式
2）导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（和或差的导数是导数的和与差）
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）?原函数 f(x)＝c(c为常数) 导函数 f′(x)＝0 f?x??xn?n?Q? f?x??sinx f?x??cosx f??x??nxn?1 f??x??cosx f??x???sinx f??x??axlna f?x??ax f?x??ex f??x??ex f??x??1 xlna1f??x?? xf?x??logax f?x??lnx ?f(x)?f'(x)?g(x)?g'(x)?f(x)(g(x)≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方'??2g(x)?g(x)?的商）
精品文档666 (4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u
的导数与u对x的导数的乘积．
3．函数y?f(x)在x?x0处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【温馨提示】1.求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k?f'(x0)，故当f'(x0)存在时，切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).
4.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y?f(x)在x?x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求出函数y?f(x)在x?x0处的导数，即曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y?y0?f'(x0)(x?x0)；如果曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x?x0. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率． 二）函数的单调性：
1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则函数y=f(x)为增函数；如果f ' (x)<0，则函数y＝f(x)为减函数；如果恒有f ' ( x)＝0，则y=f(x)为常函数.
2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．
3.f(x)在区间I上可导，那么f?(x)?0是f(x)为增函数的充分条件，例如f(x)=x3是定义于R的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x)>0非必要条件．f(x)为增函数，一定可以推出f?(x)?0，但反之不一定．
2020年高考数学(理)函数与导数 专题15 高考中常考题型综合解析(解析版)
