2020 年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本 大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 A = {x｜a +l≤x≤3a? 5} , B = {x|3<工 < 22} , 且 A ? B = A , 则实数 a 的取值范围是 A.(-?,9] B.(-?,9) C.[2,9] D.(2,9)
2+i
2.已知复数z=3(其中i是虚数单位，满足i2=-1)，则 z 的共轭复数是
iA. 1-2i B. 1 +2i C. -1-2i D. -1+2i
3.郑州市2019年各月的平均气温(?C)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是
A. 20 B. 21 C. 20. 5 D. 23
4. 圆(x + 2)2 + (y-12)2 = 4 关于直线 x - y +8=0对称的圆的方程为 A. (x+3)2 + (y+2)2 =4 B. (x+4)2+(y-6)2=4 C.(x-4)2+(y-6)2=4 D. (x+6)2+(y+4)2=4
5. 在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为
A. 30 米
B. 20 米 C. 152米 D. 15 米
??6. 若??(2,?), 2cos2?= sin(4-?)，则 sin2? 的值为
7A.?8
是
B. 8
7
C. ?8
1
D. 8
1
7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是4 , 则输入的 x 的取值范围A. (2, 十?) B. (2, 4] C. (4, 10] D. (4,+ ?)
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8. 为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过
分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示．劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等· 劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等．记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积s 为△OK L 的面积．将
,
a，称为基尼系数 对于下列说法： Gini= S
①Gini 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为y=f(x),则对?x?(0,1), X
f(x)均有>1;
x1
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x(x?[0,1]) , 则Gini =; 4
1
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x3(x?[0,1]),则Gini =. 2
2
其中不正确的是：
A. ①④ B. ②③
C. ①③④ D. ①② ④
9. 2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2, 0 , 1 , 9 , 10 按照任意次序排成一行，拼成一个6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为
A. 96 B. 84 C. 120 D. 360
10. 已知等差数列{an} 的 公 差 d?0 , 且 a1 , a3, a 13成等比数列，若 a 1 = 1, Sn 为数列{an }的前n项
2Sn+6和，则的最小值为
an+3
A. 4 B. 3 C. 23 - 2 D.2
11. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马\现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角 形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
B. 2? A.6?
C.6? D.24?
x2y2b
12.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线y=-ax和垂线，垂足为M,且交
uuuruuuur双曲线的左支于N点，若FN?2FM ，则该双曲线的离心率为
A.3 B.2 C.5 D.7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分．
13. 二项式(x+x)6的展开式中的常数项为 ． 14. 已知函数f(x)＝??，g ( x ) =x?cosx-sinx, 当x? [? 4?，4?]且x?O 时，方程f ( x ) = g ( x) 2x2根的个数是 . 15. 已知四边形 ABCD 中，AD //BC, ?BAD= 90°. AD=l ,BC=2 ,M是AB 边上的动点，uuuuruuuurMC?MD｜则｜｜｜ 的最小值为 ． 高三理科数学试题卷 第 2 页 （ 共 4 页 ）
??x3?x2,x?e?16.设函数y??lnx 的图象上存在两点 P，Q, 使得△POQ 是以 O 为直角顶
,x?e??m点的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17. (12 分）
巳知数列{an}为公差不为零的等差数列，S7=77,且满足a112=a1?a61.
(I) 求数列{ an} 的通项公式 ； ( II ) 若 数 列 { bn.}满足
111??an (n?N*) , 且b1?? ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. bn?1bn3
18. (1 2 分）
由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”。现随 机抽取了 30 名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组．票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组．
(I) 在这 30 名 学 生 中 ，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问 有
没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；
( II ) 如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2
人 ，那么至 少有 1 人 在青春组的概率是多少？
（III）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取
4 人，用?表示所选 4 人中青春组的人数，试写出?的 分 布列，并求出 ? 的 数 学期 望．
19. (1 2 分）
射影恰好落在边AB 上．
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如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将△ACD 折起，使得点 D 在平面ABC 内的
( I ) 求证：平面 ABD?平面 BCD;
（II )当AD= 2 时，求二 面角 D- AC- B
的余弦值
AB
i:二
Q
AC
20. (12 分）
在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点F ( 3, 0) 的距离与 A 到定直线x = 4 距离之比
3为2．
( I ) 求动点 A 的轨迹C 的方程；
( II )设点 M , N 是轨迹 C 上两个动点直 线 OM, ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P , Q, 1且直线 OM,ON 的斜率之积等于—4 ，问四边形4 MNPQ 的面积 S 是否为定值？ 请说明理由．
21. (12 分）
lnxx?1,g(x)?(x?0) 已知函数f(x)?axx)f(( I ) 当a = l 时 ，求曲线 y = 在 x = l 处的切线方程；
x(II )讨论函数 F (x ) =f(x)?
1在 ( 0, 十oo ) 上的单调性． g(x)（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题记分．
22. [ 选修 4- 4: 坐标系与参数方程] (10 分）
在极坐标系中，圆C 的 方程 为? = 2asin? (a > 0). 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正
?x?3t?1,半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的 参数方 程为? ( t 为参数）．
?y?4t?3(I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程，
(II )若直线 l 与圆 C 交于A , B 两点，且|AB| ≥3 . 求实数 a 的取值范围．
23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲] (10 分）
已知函数 f ( x) = lx + I l ? a |x? 1 |.
( I )当 a = - 2 时，解不等式 f (x ) >5; ( II )若 f (x )≤a |x + 3|, 求 a 的 最小值．
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理科数学 评分参考
一、选择题
BCCCA ABBBD CC 二、填空题
13.160； 14.8； 15.3； 16.[e?1,??).
三、解答题
?7a1?21d?77,17.(1)设等差数列{an}的公差为d，则?……………………3分2
?a1(a1?60d)?(a1?10d),?a1?5,?an?2n?3.………………5分解得?
?d?2,1111(2)由??an,???an?1(n?2,n?N?).
bn?1bnbnbn?1111111111?(?)?(?)?L?(?)??an?1?an?2?L?a1?当n?2时，bnbnbn?1bn?1bn?2b2b1b1b1 =(n?1)(n?2?5)?3?n(n?2). …………………………8分 对
b1?13也适合， ………………………9分
1111??n(n?2)(n?N)?bn?(?).…………………10分bn2nn?2
11111113113n2?5n?Tn?(1????L??)?(??)?.2324nn?222n?1n?24(n?1)(n?2) 12分
18.
(I)作出2?2列联表：
男生 女生 合计 青春组 7 5 12 风华组 6 12 18 合计 13 17 30 ………………………3分
n(ad?bc)2?1.83，…………………5分 由列联表数据代入公式得K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2因为1.83<2.706，
故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分
C327(Ⅱ) 用A表示“至少有1人在青春组”，则p(A)?1?2?. …………… 8分
C510(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是看出4次独立重复实验，于是?服从二项分布B(4,).
………………………10分
k显然?的取值为0，1，2，3, 4 . 且P(??k)?C4()k(1?)4?k,k?0,1,2,3,4.
122?，3052，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以5252525所以得分布列为：
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河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学(含答案)
