解:函数f(x)的导数:f?(x)?3ax?6x?1.………………3分 (Ⅰ)当f?(x)?0(x?R)时,f(x)是减函数.
23ax2?6x?1?0(x?R) ?a?0且??36?12a?0?a??3.
所以,当a??3时,由f?(x)?0知f(x)(x?R)是减函数;………………9分
3(II)当a??3时,f(x)??3x?3x?x?1=?3(x?)?32138, 9由函数y?x在R上的单调性,可知 当a??3时,f(x)(x?R)是减函数;
(Ⅲ)当a??3时,在R上存在一个区间,其上有f?(x)?0,
所以,当a??3时,函数f(x)(x?R)不是减函数. 综上,所求a的取值范围是(??,?3].………………12分
20.本小题主要考查组合,概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力,满分12分. 解:(Ⅰ)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为
3C65 1-3?;………………6分
C1063(Ⅱ)甲、乙被选中且能通过测验的概率为
1C8434 3???.;………………12分
C105512521.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、
运算能力.满分12分.
(I)解:如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点
E,连结PE.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD. 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD
所成二面角的平面角,………………4分 ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
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由已知可求得PE=3
∴PO=PE·sin60°=3?33?, 22即点P到平面ABCD的距离为
3.………………6分 2(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.
333333P(0,0,),B(0,,0),PB中点G的坐标为(0,,).连结AG.
2244又知A(1,333,0),C(?2,,0).由此得到: 22uuur33GA?(1,?,?),44
uuuruuur333PB?(0,,?),BC?(?2,0,0).22uuuruuuruuuruuur于是有GA?PB?0,BC?PB?0
uuuruuuruuuruuuruuuruuur所以GA?PB?BC?PB.GA,BC的夹角为?,
等于所求二面角的平面角,…………10分
uuuruuurGA?BC27ruuur??于是cos??uuu,
7|GA|?|BC|所以所求二面角的大小为??arccos27.…………12分 7解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG//BC,
FG=
1BC. 2∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°. 在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=
3. 27 / 8
在Rt△PEG中,EG=
31EGAD=1. 于是tan∠GAE==, 2AE23.…………12分 2又∠AGF=π-∠GAE. 所以所求二面角的大小为π-arctan
22.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想
和综合解题能力.满分14分. 解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组
?x22?2?y?1, ?a?x?y?1.?有两个不同的实数解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① ……2分
2??1?a?0.所以?4解得0?a?2且a?1. 22??4a?8a(1?a)?0.双曲线的离心率
1?a21e???1.Q0?a?2且a?1, 2aa?e?6且e?2, 26,2)U(2,??).……6分 2即离心率e的取值范围为((II)设A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1)
uuur5uuurQPA?PB,12?(x1,y1?1)?55(x2,y2?1).由此得x1?x2.……8分 1212由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,
172a2522a22a2289xx2??,x??.??所以消去,得 22222121?a121?a1?a60由a?0,所以a?17.……14分 138 / 8