极坐标与参数方程面面观
1、极坐标
极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。 阿基米德螺旋线r??
玫瑰线r?2sin(4?)
双纽线r2=2a2cos2θ
心形线
极坐标中的直线一般方程
aρcosθ+bρcosθ+c=0(θ为倾斜角)
极坐标中的圆
圆心在极点，半径为R：ρ=R（θ任意） 半径为R的圆过（R,0）点：ρ=2Rcosθ.
圆心(a，α)半径为r：r2=ρ2+a2?2aρcos(α?θ) ρ^2-2Rρ(sinθ+cosθ)+R^2=0
圆心在(a，2)处且过极点：ρ=2asinθ(θ∈[0，π]) 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??π
ep.（p是定点F到定直线的
1?ecos?距离，p＞0 ）．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
2、参数方程
定义：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数't’的函数{x=f(t)，y=g(t)}并且对于't‘的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数't‘叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。（注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数）
圆的参数方程它的参数方程为：?圆心坐标，r 为圆半径。
?x?a?rcos?(?为参数)（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为
?y?b?rsin??x?bcos?椭圆的参数方程为?（φ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 ，(?为参数),y?asin??参数?称为离心角 双曲线的参数方程??x?asec??3?.a为实半轴长 b(?为参数) ??[0,2?)且??,??22y?btan??为虚半轴长，参数?称为离心角 抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y?2px(p?0)的参数方程为
2?x?2pt2(t为参数). p表示焦点到准线的距离 ??y?2pt直线的参数方程为??x?x0?tcos?(t为参数)， y0和x0表示直线经过M0(x0,y0)且倾斜角
?y?y0?tsin?x=x+ut
为α或者{y=y0+vt(t为参数) ， y0和x0表示直线经过M0(x0,y0)u，v表示直线的方向向
0
量d=（u，v） 圆的渐开线??x?r(cos???sin?) （?为参数）φ∈[0,2π） r为基圆的半径
?y?r(sin???cos?)
摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。??x?r(??sin?) （?为参数）
y?r(1?cos?)?
3、球坐标与柱坐标
设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面xoy的投影所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标
柱坐标系中的三个坐标变量是 r、φ、z。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。
人教高中数学选修 4-4 极坐标和参数方程 知识点
