易错点05 三角函数与解三角形
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
πA. sin(x?）
35πcos(?2x)
6【答案】BC 【解析】 【分析】
B. sin(π?2x) 3πC. cos(2x?）
6D.
首先利用周期确定?的值，然后确定?的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：
2?2?T2??????，则????2，所以不选A, 2362T?2?5?3???y??1?5?当时，2?????2k??k?Z?， 6?x?31222122解得：??2k????k?Z?，
3即函数的解析式为：
2????????????y?sin?2x???2k???sin?2x????cos?2x???sin??2x?.
362?6??????3?而cos?2x?故选：BC.
????5???cos(?2x) ?6?6
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝
2?即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零T点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学） 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=
3，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 5cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】4?【解析】 【分析】
5? 2利用tan?ODC?3求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面5积，求出直角△OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设OB?OA?r，由题意AM?AN?7，EF?12，所以NF?5， 因为AP?5,所以?AGP?45?，
因为BH//DG，所以?AHO?45?，
因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA?AG， 即△OAH为等腰直角三角形； 在直角△OQD中，OQ?5?2，2，rDQ?7?r 22因为tan?ODC?OQ3?，所以21?32r?25?52r， DQ522解得r?22；
等腰直角△OAH的面积为S1?1?22?22?4； 213?扇形AOB的面积S2???2224??2?3?，
所以阴影部分的面积为S1?S2?15???4?. 22故答案为：4?5?. 2
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
例3 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）在①ac?3，②csinA?3，③
c?3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的
值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA3sinB，
C??6，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角A,B,C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sinA3sinB可得：
a?3， b不妨设a?3m,b?m?m?0?，
则：c2?a2?b2?2abcosC?3m2?m2?2?3m?m?选择条件①的解析：
据此可得：ac?3m?m?3m2?3，?m?1，此时c?m?1. 选择条件②的解析：
3?m2，即c?m. 2b2?c2?a2m2?m2?3m21据此可得：cosA?， ???22bc2m231?3，此时：
则：sinA?1??csinA?m??3，则：c?m?23. ????22?2?选择条件③的解析： 可得
2cm??1，c?b， bm3b矛盾，则问题中的三角形不存在.
与条件c?解法二：∵sinA?3sinB,C??6,B????A?C?,
∴sinA?3sin?A?C??3sin?A??????, 6?sinA?3sin?A?C??3sinA?31?3cosA? ， 22∴sinA??3cosA,∴tanA??3,∴A?2??,∴B?C?, 363,∴c=1;
若选①，ac?3,∵a?3b?3c,∴3c2?若选②，csinA?3,则若选③,与条件c?3c?3,c?23; 23b矛盾.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
【易错警示】
易错点1 角的概念不清
例1 若?、?为第三象限角，且???，则（ ）
A．cos??cos? B．cos??cos? C．cos??cos? D．以上都不对 【错解】A
【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似(?,3?)区间角． 2【正解】如取??2??7?4?,??，可知A不对．用排除法，可知应选D． 63易错点2 忽视对角终边位置的讨论致误 例2 若?的终边所在直线经过点P(cos3?3?,sin)，则sin?? ． 44
易错点05 三角函数与解三角形 (解析版) -备战2021年高考数学一轮复习易错题
