第五讲 指数及指数函数
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一．根式 1.根式的概念
根式的概念 如果a＝x，那么x叫做a的n次实数方根 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数 2.两个重要公式
n 符号表示 备注 nn>1且n∈N* 0的n次实数方根是0 a ±a n负数没有偶次方根 a?n为奇数?，?n?①a＝??a?a≥0?，|a|＝?
?－a?a<0???
n
n
nm(n为偶数)；
②(a)＝a(注意a必须使a有意义)． 二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是a＝a(a>0，m，n∈N，n>1)；
*
nnmn②正数的负分数指数幂是amn＝
1amn＝
1
(a>0，m，n∈N，n>1)；
*
nam③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①aa＝aststs＋t(a>0，t，s∈Q)；
②(a)＝a(a>0，t，s∈Q)； ③(ab)＝ab(a>0，b>0，t∈Q)．
tttst
三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义
一般地，函数y＝a(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. （2）指数函数的图象与性质
xy＝ax a>1 0
【例1】计算化简
1(1)(2)?1
27
+8+(2024)0= .
1323
（2）(8)?(3
1
0.52
)+(0.008)
1
?
23×25=______．
4
（3）已知??2+???2=3，求下列各式的值： ①??+??
?1
；②??+??
2?2
；③
3?211?
??2???2??2???
3
.
6a5
【答案】（1）7 （2）2 （3）－ （4）①7②47③8
b【解析】(1)(1)2
27
1
?1
+8+(2024)0=2+4+1=7
2
2
3（2）(8)3?(30.5)2+(0.008)?3×25，=(2)3×3?32×2+(5)3×(?3)×25=2?3+4=2．
43
11
1
2
435
（3）①因为??2+???2=3，所以(??2+???2)2=??+2+???1=9,即??+???1=7.
②因为??+???1=7所以(??+???1)2=??2+2??????1+???2=??2+2+???2=49，即??2+???2=47. ③
3?211?
??2???21111
??2???
3
=
(??2)3?(??
1
1?23)
11?
??2???2=
(??2???
1
1?2)(??+1+???1)11?
??2???2=??+1+???1=8.
【套路总结】 指数幂运算的四个原则： （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 【举一反三】
1．0.027?3?(?)?2+2560.75+(
6
1
1
125?1
)3729
+()?1?729?6＝__________.
9
5
1
【答案】31 【解析】原式＝0.3
?1
?36+256?
34125?1(729)3
+5?9
9
3×(?)16
=
103
?36+43?5+5?3=31.故答案为：31
991
2．化简：(√3+√2)2015×(√3?√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3?√2 【解析】(√3+√2)2015×(√3?√2)2016=[(√3+√2)(√3?√2)]2015×(√3?√2)=√3?√2. 故答案为：√3?√2 3．(0.25)?[?2×()]×[(-2)]+(√2-1)-2＝________．
7【答案】?
1252
12
230
3
43-1
12
1
1
【解析】原式=(4)2?(?2)2×(?2)4+=?4×16+(√2+1)?√2=?
21
1252
√?√2=2?4×16+(√2?1)?√2 2?11252
11
，故答案为?.
4.已知x＋x＝3，则x－1
32x32的值为．
【答案】 25 【解析】(x12x)＝x＋2＋x＝5，
－1
122x12x125,
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(解析版)
